Enunciado equivalente al teorema fundamental del álgebra

Question

En el artículo Clasificación de las álgebras de división real (escrito por R. S. Palais) se dice que si D es un álgebra de división de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ entonces:

Una forma de enunciar el teorema fundamental del álgebra es decir que si D es conmutativo (es decir, un campo), D es isomorfo sobre $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ o el campo $\mathbb{C}$ de los números complejos.

No entiendo por qué esto es cierto. ¿Puede alguien explicármelo?

Answer 1

Teorema fundamental del álgebra, frase 1: Un polinomio no constante con coeficientes en $\Bbb{C}$ es un producto de polinomios lineales con coeficientes en $\Bbb C$ .

Teorema fundamental del álgebra, enunciado 2: $\Bbb C$ es algebraicamente cerrado (es decir, no tiene extensiones de campo de grado finito).

Teorema fundamental del álgebra, frase 3: Si $D$ es una extensión de campo de $\Bbb R$ que es (como espacio vectorial) finito-dimensional, entonces $D = \Bbb{R}$ o $D$ es isomorfo a $\Bbb C$ en $\Bbb R$ .

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Fraseología 1 $\implies$ frase 2: Supongamos por contradicción que $\Bbb{C}$ tiene alguna extensión de campo de grado finito $K$ ( $K \ne \Bbb{C}$ ). Sin pérdida de generalidad podemos decir que $K$ es una extensión simple (de lo contrario tomamos alguna $\alpha \in K \setminus \Bbb C$ y sustituir $K$ con $\Bbb{C}[\alpha]$ ). Por lo tanto, escriba $K = \Bbb{C}[\alpha]$ .

Echa un vistazo a la secuencia infinita $\{1, \alpha$ , $\alpha^2$ , $\alpha^3, ... \}$ . Desde $K$ tiene grado de extensión finito, es de dimensión finita como espacio vectorial sobre $\Bbb{C}$ (¡esta dimensión es precisamente la definición del grado de extensión!). Así que una secuencia infinita debe ser linealmente dependiente, lo que significa (piénsalo...) que hay algún polinomio con coeficientes complejos que $\alpha$ es una raíz de. Pero por la suposición del enunciado 1, este polinomio es un producto de polinomios lineales, por lo que hay alguna lineal polinomio que $\alpha$ es una raíz de. Es decir $\alpha \in \Bbb C$ - contradicción.

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Fraseología 2 $\implies$ fraseo 1: Que $f$ sea un polinomio irreducible de grado superior a $1$ con coeficientes en $\Bbb C$ . Existe una construcción explícita (que deberías aprender en algún curso de álgebra) de una extensión de campo finito de $\Bbb C$ formado añadiendo una raíz de este polinomio y cerrando bajo las operaciones de campo. Esto contradice la suposición del enunciado 2.

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Fraseología 2 $\implies$ frase 3: Que $D$ sea una extensión de campo de grado finito de $\Bbb R$ . Hay dos posibilidades:

1. Si $D$ contiene una raíz cuadrada de $-1$ a continuación, llame a este $\alpha$ y $\Bbb R[\alpha]$ es isomorfo a $\Bbb C$ (por lo tanto, algebraicamente cerrada por suposición del enunciado 2). Pero $D$ es entonces una extensión de grado finito de $\Bbb R [\alpha]$ por lo que debe ser igual a $\Bbb R[\alpha]$ por lo que es isomorfo a $\Bbb C$ en $\Bbb R$ .

2. Si $D$ no contiene una raíz cuadrada de $-1$ a continuación, añada $i$ para formar $D[i]$ . Entonces $D[i]$ es una extensión de grado finito de $\Bbb R[i] = \Bbb C$ por lo que, por suposición del enunciado 2, debemos tener $D[i] = \Bbb C$ . Desde $i \notin D$ , $D = \Bbb R$ .

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Fraseología 3 $\implies$ fraseo 2: Que $D$ sea una extensión de campo de grado finito de $\Bbb C$ . Entonces también es una extensión de campo de grado finito de $\Bbb R$ . Por la hipótesis del enunciado 3, $D = \Bbb R$ (imposible) o $D$ es isomorfo a $\Bbb C$ . Puesto que ya amplía $\Bbb C$ la única opción es $D = \Bbb C$ .

Answer 2

Pista: Sea $f(x)$ sea un polinomio irreducible sobre $\Bbb R$ y que $\alpha$ sea una raíz de $f(x)$ . Piense en el campo de extensión $\Bbb R[\alpha]$ . (El teorema fundamental del álgebra afirma que este polinomio se divide en un producto de factores lineales en $\Bbb C = \Bbb R[i]$ .)