¿Cómo puedo demostrar que $$ \lim_{A\rightarrow \infty} \int_0^A \frac{\sin(x)}{x}dx\;=\;\frac{\pi}{2}?$$ Sé que puede utilizar el hecho de que, para $x>0$ , $$x^{-1}\;=\;\int_0^\infty e^{-xt}dt$$ pero no estoy seguro de cómo empezar.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Existencia:
Si quieres que tu solución/elaboración sea lo más rigurosa posible, en primer lugar se puede demostrar que el límite existe realmente.
Comience por la integración por partes, como: $$\lim_{A \to \infty} \int_0^A \frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x = \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x$$ Por integración por partes, se deduce que: $$\int_0^A \frac{\sin x}xdx=\left.\frac{1-\cos x}x\right|_0^A-\int_0^A\frac{1-\cos x}{x^2}dx$$
Utilizando ahora los siguientes límites simples $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = 0, \; \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}$$ y el hecho de que $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x = 1 < + \infty$$ la existencia puede derivarse directamente, teniendo en cuenta la prueba de comparación con 0 \leq 1 - \cos (x) \leq 2.
Demostrando que es = $\pi/2$ :
Para demostrar que es igual a $\frac{\pi}{2}$ , trabajaremos sobre la siguiente expresión analítica, como: $$1 +2\sum_{k=1}^n\cos kx=\frac{\sin \left(n+\frac 1 2\right)x}{\sin\frac x 2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\int_0^\pi \left(1 +2\sum_{k=1}^n\cos kx\right)\mathrm{d}x = \int_0^\pi\frac{\sin \left(n+\frac 1 2\right)x}{\sin\frac x 2}\mathrm{d}x$$ $$\Rightarrow$$ $$\int_0^\pi\frac{\sin \left(n+\frac 1 2\right)x}{\sin\frac x 2}dx = \pi$$ Obsérvese que obtenemos ese resultado porque: $$\int_0^\pi \cos k x \mathrm{d}x = 0 \implies \sum_{k=1}^n \int_0^\pi \cos kx \mathrm{d}x = 0$$ A continuación, la función $$f(x) = \frac{2}{x}-\frac{1}{\sin\frac x 2}$$ es continua en $[0,\pi]$ . Así, por el lema de Riemann-Lebesgue, $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^\pi {\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x\left( {\frac{2}{x} - {{\left( {\sin \frac{x}{2}} \right)}^{ - 1}}} \right)dx} = 0$$
A partir de aquí, se puede demostrar que: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^\pi {\frac{{\sin \left( {n + \frac{1}{2}} \right)x}}{x}dx} = \frac{\pi }{2}$$
Pero eso al final cede: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_0^{\pi \left( {n + \frac{1}{2}} \right)} {\frac{{\sin x}}{x}dx} = \frac{\pi }{2} \xrightarrow{n \to \infty} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$$
