¿Por qué se considera que $(\mathrm d x)^2=0$ ?

Question

¿Por qué está bien considerar que $(\mathrm d x)^n=0$ para cualquier n mayor que $1$ ? Puedo entender que $\mathrm d x$ es infinitesimalmente pequeño ( pero mayor que $0$ ) y, por tanto, su cuadrado o cubo debe ser aproximadamente igual a $0$ no exactamente $0$ .

Pero si esto es así, ¿cómo podemos esperar que los resultados obtenidos del cálculo sean exacto y no sólo aproximada ( como la pendiente o el área bajo una curva )?

También he notado algunas anomalías, como $\sqrt{ (\mathrm d x)^2 + (\mathrm d y)^2 }$ es $0$ mais $\mathrm d x\sqrt{1+ (\mathrm d y/\mathrm d x)^2 }$ no es $0$ cuando estas dos cosas son aparentemente lo mismo . Además, podemos afirmar que

$$(\mathrm d x)^2=(\mathrm d x)^3=(\mathrm d x)^4 = \cdots = 0$$

lo que es bastante difícil de creer.

¿Puede ayudarme a entender la lógica de estas cosas?

Answer 1

Un poco de perspectiva histórica: Cuando los matemáticos de los años 1500-1700 resolvían problemas utilizando "infinitesimales" (el telón de fondo de la invención del cálculo), sus argumentos eran exactamente los mismos de los que usted se queja. Y la gente también se quejaba de ello:

Si 'h' no es cero, no tienes derecho a soltar el término como si lo fuera; si 'h' es cero, no tienes derecho a dividir por él. Y no me vengas con tonterías de 'infinitesimal', tiene que ser cero o distinto de cero.

A lo que la respuesta general fue algo del orden de:

Bueno, funciona, así que: sal de mi vista.

Y lo sorprendente fue que realmente funcionó. Pero eso se debió sobre todo a que los primeros practicantes eran básicamente genios: Newton, Leibniz, Bernoulli, Cauchy, Euler, etc. No fue hasta unos cien años más tarde, cuando la gente empezó a intentar enseñarnos Cálculo a nosotros, simples mortales, que los viejos argumentos de "agitar las manos" dejaron de servir. Fue entonces cuando Bolzano, Weirstrauss, etc., crearon la noción de "límite" y los argumentos épsilon-delta para que todo fuera lógicamente sólido, en parte para que sus alumnos "compraran" sus argumentos en clase. [no es la única razón de la limpieza, pero era una importante].