Si $P$ no es irreducible, puede $a_0$ y $b_0$ ¿tiene límite?

Question

Sea $P$ sea la matriz de transición de una cadena de Markov con estados finitos que es pas irreducible. Consideremos dos distribuciones iniciales $a_0$ y $b_0$ . Definir secuencias de distribuciones como

$$a_n = a_{n-1}P,\, b_n = b_{n-1}P$$

Puede $\lim a_n$ y $\lim b_n$ ¿Existen? Si existen, ¿pueden ser iguales?

Por qué he preguntado esto: He visto la siguiente declaración.

Resultado principal: Sea $P$ sea la matriz de transición de una cadena de Markov irreducible. Existe una única distribución de probabilidad $\pi$ satisfaciendo $\pi = \pi P$ .

Esto sugiere que para una distribución inicial arbitraria $\mu_0$ que $\lim_n \mu_n$ existe (no tiene que existir incluso para la cadena irreducible. por ejemplo considere $2n$ -ciclo), el límite tiene que ser $\pi$ . Pero si $P$ es pas irreducible, no me queda claro si los límites de dos distribuciones iniciales diferentes pueden ser los mismos? Se me ocurre un caso degenerado en el que los límites existen pero son diferentes. A saber, considere gráfico con dos puntos $A$ y $B$ con $P(A,A) = 1$ y $P(B,B) = 1$ .

Answer 1

Claro que pueden ser iguales; considere una cadena de Markov de tres estados con P(A,B) = P(B,A) = p, P(A,A) = P(B,B) = 1-p, y P(C,C) = 1 donde 1 > p > 0. Ahora, deje que su distribución inicial $a_0$ tienen peso 1 en A, y $b_0$ tienen peso 1 en B. Entonces, esos se mezclarán definitivamente y te darán el mismo límite de equilibrio.

En términos más generales, una buena manera de interpretar las cadenas de Markov es interpretarlas como un flujo de agua a lo largo de la cadena. Se puede descomponer una cadena de Markov de estado finito en un montón de cadenas irreducibles más pequeñas, y si esas cadenas resultan ser aperiódicas, entonces el "agua" que se desplaza se equilibrará.