Tengo problemas para entender una prueba de que un operador integral de Hilbert-Schmidt está acotado. Empezaré dando las definiciones con las que estoy trabajando.
Definición de operador integral:
$\textit{Let k be a function of two variables (x,t)}\in I\times I=I^2\textit{ where I is a finite or infinite real interval. We define a linear integral operator K with kernel k(x,y) as}$
$$Ku(x)=\int_{I}k(x,y)u(y)\ dy,\ x\in I$$
Definición del operador integral de Hilbert-Schmidt:
$\textit{An integral operator on }L^{2}(I)\textit{ is called a Hilbert-Schmidt operator if the kernel k is in }L^2(I\times I)\textit{,}$ $\textit{that is if}$
$$||k||^2=\int_{I}\int_{I}|k(x,y)|^2\ dxdy<\infty$$
El libro procede ahora a demostrar que un operador integral de Hilbert-Schmidt está acotado con $||K||\leq||k||$ . En la prueba se afirma lo siguiente:
$\textit{Assume that K is a Hilbert-Schmidt operator with kernel k}\in L^2(I\times I). \textit{Let u}\in L^2(I),$ $\textit{then from Fubini's theorem in measure theory, the function }x\mapsto \int_{I}|k(x,y)|^2\ dy$ $\textit{is in }L^1(I)\textit{ such that }\int_{I} was \int_{I}|k(x,y)|^2\ dxdy<\infty.\textit{ Thus it is allowed to use the Cauchy-Schwarz inequality such that}$
$$|Ku(x)|=|\int_{I}k(x,y)u(y)\ dy|\leq ||k(x,\cdot)||\ ||u||$$
$\textit{since }||\overline{u}||=||u||.$
Me cuesta entender este argumento. El resto de la prueba no es tan difícil una vez que este argumento está claro. ¿Alguien puede dar alguna pista de por qué tiene sentido?
Gracias de antemano.
