Obtención de los vectores de posición y velocidad en el tiempo t a partir de una rotación y aceleración constantes

Question

Estoy tratando de averiguar una forumula para obtener la posición y la velocidad en cualquier punto en el tiempo para un objeto con accelearation constante pero vector de los cuales está girando.

Me cuesta dividir el problema en trozos más pequeños, parece que es sólo un problema de trigonometría.

Supongamos que el objeto se encuentra en 0,0 tiene un vector de aceleración de 0,1 m/s (tan arriba). y rotación de 1 rpm en el sentido de las agujas del reloj. El vector de aceleración gira en el sentido de las agujas del reloj a 1 rpm.

A medida que pasa el tiempo, debería trazar un semicírculo, ya que el vector aceleración gira en el sentido de las agujas del reloj, y empieza a contribuir a la velocidad hacia la derecha. Cuando complete 1 revolución, debería detenerse en seco, pero a cierta distancia hacia la derecha.

La aceleración y la rotación rigen de algún modo la distancia y la velocidad a la que se desplaza el objeto.

La cosa del "mundo real" que estoy modelando es la física simplista de una nave espacial 2d. Simplista porque sólo las siguientes fuerzas están presentes:

La nave tiene una rotación constante en sentido horario o antihorario, y un vector de empuje constante, que gira con ella.

Dado un vector de velocidad inicial perpendicular al vector de empuje, es posible que la nave cree una "órbita artificial" alrededor de un punto fijo en el espacio. Esa forma será un círculo. Mientras el vector de empuje apunte siempre al centro de la órbita y todas las variables estén equilibradas (empuje, rotación y velocidad inicial), la órbita será perfectamente circular.

Si no están equilibradas, la nave simplemente dará tumbos en el espacio, sin ganar ninguna velocidad global, sólo moviéndose temporalmente alrededor de una forma que se parece a si dibujaras un círculo, pero trasladaras el centro hacia la derecha en x (si la rotación es en sentido contrario a las agujas del reloj, la traslación sería hacia la izquierda). No encuentro el nombre de dicha espiral.

Estoy bastante seguro de que el vector de empuje es (cos(at), sin(at)) porque en el punto 0, la componente x es 1, la componente y es 0, y continúa alrededor del círculo a medida que gira. Ese vector multiplicado por el factor de empuje, parece ser correcto.

La integral de velocidad (sin(at)/a,-cos(at)/a) no parece correcto. En t=0 las componentes x e y deberían ser 0, ya que aún no hemos pasado ningún tiempo "bajo la curva". -cos(0*0)/1 es -1. (valores menores de a, para una rotación más lenta dan valores negativos mayores de y, lo que no suena bien)

Esto parece graficar la posición correcta: https://www.desmos.com/calculator/iycc3jodph

Es extraño que tenga que utilizar diferentes fórmulas para rotaciones negativas

Answer 1

Si la partícula se mueve hacia arriba con aceleración $(0,1)$ m/s² su velocidad será $(0,t)$ m/s y su posición vendrá dada por $$p(t) = \frac{t^2}{2}(0,1)$$ en un sistema de coordenadas no giratorio.

Ahora, si su sistema de coordenadas está girando a $\omega$ radianes por segundo en la dirección positiva, esta posición se convierte ahora en $$p(t) = \frac{t^2}{2}(\sin(\omega t),\cos(\omega t))$$

Desde $\omega$ se da en rad/s y se quieren 2pi rad/minuto, entonces $$\omega = \frac{2\pi}{60}$$ para que $$p(t) = \frac{t^2}{2}\left(\sin\left(\frac{2\pi}{60} t\right),\cos\left(\frac{2\pi}{60} t\right)\right)$$ donde el tiempo se indica en segundos.

Tracé la trayectoria en Desmos:

y aquí está el enlace .

¿Es esto lo que necesitabas?

Answer 2

Tomar una aceleración inicial $$a(0)= \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ una velocidad inicial $$v(0)= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$$ y posición inicial $$p(0)= \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \end{bmatrix}$$ Su vector de aceleración viene dado por la aceleración inicial girando a $\omega$ radianes por segundo, así que multiplique $a(0)$ por esa matriz de rotación: $$a(t)= \begin{bmatrix} \cos(\omega t) & -\sin(\omega t) \\ \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \end{bmatrix} a(0).$$ La velocidad se da integrando una vez $$\begin{align} v(t) &= v(0)+\int_0^t \begin{bmatrix} \cos(\omega u) & -\sin(\omega u) \\ \sin(\omega u) & \cos(\omega u) \end{bmatrix} a(0)\,du \ \ &= v(0)+\frac{1}{\omega} \begin{bmatrix} \sin(\omega t) & \cos(\omega t)-1 \\ -\cos(\omega t)+1 & \sin(\omega t) \end{bmatrix} a(0) \\ &= v(0) + \frac{1}{\omega} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} a(0) +\frac{1}{\omega} \begin{bmatrix} \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \\ -\cos(\omega t) & \sin(\omega t) \end{bmatrix} a(0). \Fin. E integrar de nuevo por posición \begin{align} p(t) &= p(0) + \int_0^t v(u)\,du \\ &= p(0) + t \left(v(0) + \frac{1}{\omega} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} a(0) \derecha) + + frac {1} {\omega^2} \begin{bmatrix} -\cos(\omega t)+1 & \sin(\omega t) \\ -\sin(\omega t) & -\cos(\omega t)+1 \end{bmatrix} a(0) \\ &= p(0) + \frac{1}{\omega^2}a(0) + t \izquierda(v(0) + \frac{1}{\omega} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} a(0) \derecha) -\frac{1}{\omega^2} \begin{bmatrix} \cos(\omega t) & -\sin(\omega t) \\ \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \end{bmatrix} a(0) \\ &= \begin{bmatrix} p_1 + \frac{1}{\omega^2}a_1 \\ p_2 + \frac{1}{\omega^2}a_2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} v_1 - \frac{1}{\omega} a_2 \\ v_2 + \frac{1}{\omega} a_1 \end{bmatrix} - \frac{1}{\omega^2} \begin{bmatrix} \cos(\omega t) & -\sin(\omega t) \\ \sin(\omega t) & \cos(\omega t) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} \end{align}$$ Para $a(0)=(0,1)$ , $v(0)=(-1,0)$ , $p(0)=(0,0)$ y $\omega=-2\pi/60$ (1 revolución por minuto en sentido contrario a las agujas del reloj) se obtiene esto.

Con $v(0)=(0,0)$ se obtienen bonitos arcos. Con $v(0)=\frac{1}{\omega}(a_2,-a_1)$ se obtiene una órbita circular perfecta. Aquí está el enlace Desmos .