Convergencia de $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \times (5x)^n$

Question

Tengo que comprobar para qué $x$ la serie converge/diverge.

$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n!}{n^n} \times (5x)^n$

Sé que para $|x| < \frac{1}{5}e$ converge y para $|x| > \frac{1}{5}e$ diverge utilizando la prueba de la proporción $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ . Sin embargo, esta prueba no me dice nada sobre $|x| = \frac{1}{5}e$ .

¿Cómo demuestro que la serie diverge para $|x| = \frac{1}{5}e$ ? (Wolfram Alpha me lo dijo)

Pensé que tenía algo que ver con $\frac{n!}{x^n}$ que sería $\frac{1}{e^x}$ pero no he podido encontrar una prueba adecuada.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

$$x=\frac e5\implies\;\text{we have the series}\;\;\sum_{n=1}^\infty\frac{n!5^ne^n}{n^n5^n}=\sum_{n=1}\frac{n!e^n}{n^n}$$

y ahora puede utilizar Aproximación de Stirling

$$n!\sim\frac{n^n}{e^n}\sqrt{2\pi n}$$

por lo que nuestra serie se comporta asimétricamente (para valores grandes de $\;n\;$ ) como la serie

$$\frac{n^n}{e^n}\sqrt{2\pi n}\frac{e^n}{n^n}=\sqrt{2\pi n}$$

y por lo tanto claramente nuestra serie diverge.