Principio máximo de la ecuación del calor, sin intervalo de tiempo acotado

Question

¿Existe un principio máximo para la ecuación del calor

$\partial_t u(x,t)=k \partial_{xx}^2 u(x,t)$

para $(x,t)\in[O,L] \times [0, \infty]$ ?

Si $u$ tiene un máximo se produciría en $t=0$ , $x=0$ o $x=L$ igual que en el caso acotado, pero como no podemos suponer $u$ alcanza su máximo, no sé si tiene un principio de máximo ni cómo demostrarlo.

Answer 1

No estoy asumiendo ninguna condición límite ya que no especificaste ninguna.. pero un argumento análogo funcionará si las hay.

Si se separan las variables, se obtiene que $u(x,t)$ es de la forma $$u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n \cos({n\pi \over L}x)e^{-{n^2\pi^2k^2 \over L^2}t}+ \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin({n\pi \over L}x)e^{-{n^2\pi^2k^2 \over L^2}t}$$ Observe que como $t$ va a infinito, todos los términos van a cero excepto el primer término de la serie del coseno. De hecho, a medida que $t \rightarrow \infty$ , $u(x,t)$ converge uniformemente a $A_0$ que es la temperatura media inicial de $x = 0$ a $x = L$ . A menos que $u(x,0)$ es constante (en cuyo caso $u(x,t)$ es constante y no hay nada que probar), va a haber algún $x_0$ para lo cual $|u(x_0,0)| = A_0 > A$ .

Se puede demostrar un principio maximal de la siguiente manera. Sea $t_0$ sea tal que $|u(x,t)| < A_0$ para todos $t \geq t_0$ . Entonces por el principio maximal en la caja $[0,L] \times [0,t_0]$ , $|u(x,t)|$ alcanza su máximo en algún punto del límite de la caja. En $[0,L] \times [t_0,\infty)$ , $|u(x,t)|$ siendo inferior a $A_0$ es inferior a $|u(x_0,0)|$ que a su vez es como máximo el máximo en el límite de la caja.

Así que $|u(x,t)|$ alcanza su máximo global en el límite de la caja $[0,L] \times [0,t_0]$ . No puede ocurrir en el lado $[0,L] \times \{t_0\}$ porque $|u(x,t)| < A_0$ allí. Por lo tanto, alcanza su máximo en uno de los otros tres lados, que forman parte de la frontera del dominio original. $[0,L] \times [0,\infty)$ . Así que concluimos que $|u(x,t)|$ alcanza su supremum sobre $[0,L] \times [0,\infty)$ y en la frontera de ese dominio.

Answer 2

En realidad es cierto para ecuaciones parabólicas generales de segundo orden de la forma

$$\displaystyle \partial_t u = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x,t)\partial_i\partial_ju+\sum_{k=1}^{n}b_k(x,t)\partial_k u + c(x,t) u$$

en un dominio espacial delimitado $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ e intervalo de tiempo $t\in(0,\infty)$ donde los coeficientes $a,b,c$ son continuas en $\bar\Omega\times[0,\infty)$ y $[a_{ij}]$ es simétrica positiva definida. Con alguna condición de crecimiento en el infinito funciona también para dominios espaciales no limitados.