No entiendo un paso de la demostración de la asociatividad de la multiplicación de matrices

Question

La asociatividad de la multiplicación de matrices se demuestra mediante el siguiente razonamiento:

Sean matrices $A^{m \times n}$ , $B^{n \times k}$ y $C^{k \times l}$ . Entonces

$$ \{(AB)C\}_{ij}=\sum\limits_{p=1}^k{\{AB\}_{ip}c_{pj} \\=\sum\limits_{p=1}^k \left(\sum\limits_{q=1}^n a_{iq}b_{qp}\right)}c_{pj} \\=\sum\limits_{q=1}^n a_{iq} \left(\sum\limits_{p=1}^k b_{qp}c_{pj}\right) \\= \{A(BC)\}_{ij}. $$

No entiendo cómo conseguimos la tercera línea de la segunda.

Answer 1

Podemos multiplicar $c_{pj}$ en suma interna: $$\sum_{p=1}^k \left(\sum_{q=1}^n a_{iq} b_{qp}\right)c_{pj}= \sum_{p=1}^k \sum_{q=1}^n a_{iq} b_{qp}c_{pj}.$$

Como las sumas son finitas, podemos cambiar el orden de la suma: $$\sum_{p=1}^k \sum_{q=1}^n \cdots = \sum_{q=1}^n \sum_{p=1}^k \cdots.$$

Entonces, puesto que $a_{iq}$ no depende de $p$ podemos factorizarlo fuera de la suma interna. $$\sum_{p=1}^k a_{iq} b_{qp} c_{pj} = a_{iq} \sum_{p=1}^k b_{qp} c_{pj}.$$

Answer 2

Creo que ésta es una forma más intuitiva de demostrarlo.

Sea A $m \times n$ se deduce que B debe tener n filas para que exista AB. Así pues, siendo B una $n \times p$ matriz, (AB) será una $m \times p$ matriz. Para que exista (AB)C, C debe tener p filas, por lo que sea C una $p\times r$ matriz.

C es un $p\times r$ B debe tener $p$ columnas. Así que (de nuevo) dejando que B sea un $n \times p$ matriz, BC será una $n \times p$ matriz. Para que A(BC) esté permitida, A debe tener n columnas. Así que (de nuevo) dejando que A sea una $m \times n$ matriz, A(BC) será una $m \times p$ matriz.

Para que (AB)C y A(BC) tengan la misma forma, A debe tener el mismo número de columnas que filas tiene B, y C debe tener el mismo número de filas que columnas tiene B. En este caso, se cumple (como se indica a continuación) que $A(BC) = (AB)C$ . Todo lo que tenemos que hacer es demostrar que una columna arbitraria de (AB)C será igual a la misma columna arbitraria de A(BC) (llamaré a esta columna la j-ésima columna de ambas matrices).

$$\text{Notation: } K_i \text{ represents the ith column of the matrix } K.$$

$$B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1}}& \cdots &{B{_p}} \end{array}} \right]$$

$$C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}& \cdots &{{c_{1j}}}& \cdots &{{c_{1r}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ {\underbrace {{c_{p1}}}_{{C_1}}}& \vdots &{\underbrace {{c_{pj}}}_{{C_j}}}& \cdots &{\underbrace {{c_{pr}}}_{{C_R}}} \end{array}} \right]$$

$$AB = A\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1}}& \cdots &{B{_p}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{B_1}}& \cdots &{AB{_p}} \end{array}} \right]$$

$${\left( {BC} \right)_j} = B{C_j} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_1}}& \cdots &{B{_p}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{1j}}}\\ \vdots \\ {{c_{pj}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{1j}}{B_1}}& \cdots &{{c_{pj}}B{_p}} \end{array}} \right]$$

$${\left( {\left( {AB} \right)C} \right)_j} = {\left( {AB} \right)_{{C_j}}} = AB\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{1j}}}\\ \vdots \\ {{c_{pj}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{B_1}}& \cdots &{AB{_p}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{1j}}}\\ \vdots \\ {{c_{pj}}} \end{array}} \right] = {c_{1j}}A{B_1} + \cdots + {c_{pj}}A{B_p}$$

$${\left( {A\left( {BC} \right)} \right)_j} = A{\left( {BC} \right)_j} = A\left( {{c_{1j}}{B_1} + \cdots + {c_{pj}}{B_p}} \right) = {c_1}A{B_1} + \cdots + {c_{pj}}A{B_p} = {\left( {\left( {AB} \right)C} \right)_j}$$

Answer 3

En $m\times n$ matriz $A=(a)_{ij}$ induce una función $f_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , $$ f_A(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\left(\sum_{j=1}^na_{1j}x_j,\ldots,\sum_{j=1}^na_{mj}x_j\right). $$ Puede comprobar que la composición $f_A\circ f_B$ corresponde al producto matricial $AB$ es decir $f_{AB}=f_A\circ f_B$ .

Por lo tanto, la asociatividad de la multiplicación de matrices está implícita en la asociatividad de la composición de funciones, lo que es válido en general.