Cómo resolver $|-2x^2+1+e^x+\sin(x)|=|2x^2-1|+e^x+|\sin(x)|$ ?

Question

Cómo resolver $|-2x^2+1+e^x+\sin(x)|=|2x^2-1|+e^x+|\sin(x)|$ ?

He resuelto ecuaciones como $|a|+|b|=|a+b|$ donde la condición debe ser que $a$ , $b$ deben ser del mismo signo. Pero en el caso de tres términos como el anterior, ¿cuál debe ser la condición?

Answer 1

Si $x$ es un número real, entonces las tres cantidades deben ser positivas y la intersección de los tres conjuntos será el valor final de $x$ Es decir $2x^2-1>0$ & $\sin(x)>0$ . Así que $x\in[\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\pi}{2}] \cup [2n\pi,2n\pi+\frac{\pi}{2}]$ y lo mismo para los valores negativos de $x$ .

Espero que le sirva de ayuda

Answer 2

No especificó qué $x$ es. Lo siguiente sólo funciona si $x$ es un número real.

Sugerencia : $|e^x| = e^x$ y $|2x^2-1| = |1-2x^2|$ . Así que su ecuación es de la forma $|a+b+c| = |a|+|b|+|c|$ .

Answer 3

Sugerencia :

Primero puede detectar los valores en los que los argumentos de los valores absolutos cambian de signo y reescribir la ecuación en los intervalos correspondientes (utilizando $|x|=x$ o $|x|=-x$ en su caso).

En su problema, los límites interesantes son $\pm\frac1{\sqrt2}$ y $k\pi$ . Las raíces del LHS son mucho más difíciles de conseguir.

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A partir de un diagrama de los dos lados, se puede ver que la ecuación es una identidad en algún intervalo y no tiene soluciones en ningún otro lugar.

Answer 4

Para evitar cálculos y obtener una respuesta directa, lo que puedes hacer es comparar los dominios de las expresiones a la izquierda y a la derecha de las ecuaciones y, a continuación, sacar los valores comunes de x de ambos dominios. Esa sería tu respuesta.