Ecuaciones de vorticidad de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes en 2D

Question

Sabemos que para las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes, tenemos la ecuación de vorticidad: $$\omega_t - \Delta \omega + (u \cdot \nabla)\omega = (\omega \cdot \nabla)u$$

Pero para el espacio bidimensional, $(u \cdot \nabla)\omega $ . No veo por qué después de conectar la expresión de $\omega$ . (Aquí $\omega = \partial_1 u_2 - \partial_2 u_1$ )

Answer 1

Una solución de las ecuaciones de Navier-Stokes en 2D se puede realizar como un tipo especial de solución de Navier-Stokes en 3D, es decir, una solución para la que $$ u(x,y,z) = (u_1(x,y),u_2(x,y),0) , \quad w(x,y,z)=\nabla \times u(x,y,z) =(0,0,\omega(x,y)).$$ Toma, $\omega = \operatorname{curl}_{\text{2D}}(u_1,u_2). $ Véase, por ejemplo aquí .

Introduciendo esto en la ecuación de vorticidad anterior, observamos en particular que $$ w\cdot \nabla = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \partial_1 \\ \partial_2 \\ \partial_3 \end{pmatrix} = \omega\partial_3$$ Así que desde $u$ no depende de $x_3$ el término $(w\cdot\nabla) u $ desaparece.

Answer 2

En el caso 2D, la vorticidad es un escalar, y el término de estiramiento del vórtice $\omega\cdot\nabla u$ debería desaparecer.