Simplificar raíces cuadradas anidadas ($\sqrt{6-4\sqrt{2}} + \sqrt{2}$)

Question

Supongo que aprendí hace muchos años en la escuela, pero me debo haber olvidado de él. De un rompecabezas de geometría llegué a la solución

$\sqrt{6-4\sqrt{2}} + \sqrt{2}$

Mi calculadora me dice que (dentro de su precisión) el resultado es igual a exactamente 2, pero no tengo ni idea de cómo transformar el cálculo simbólicamente llegar a ese resultado.

(Puedo factor de una $\sqrt{2}$ de ambos términos, pero que no me llevan en cualquier lugar, ya sea)

Answer 1

Comience tratando de simplificar $\sqrt{6-4\sqrt{2}}$. Vamos a asumir que existe un número $p+q\sqrt{2}$ para los que $$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = p + q\sqrt{2}$$ El cuadrado ambos lados da $$6-4\sqrt{2} = (p + q\sqrt{2})^2 = p^2+2q^2 + 2pq\sqrt{2}$$ La comparación de los coeficientes de da $6=p^2+2q^2$$-4=2pq$, es decir,$-2=pq$.

Necesitamos resolver $p^2+2q^2=6$ $pq = -2$ simultáneamente.

Si $pq=-2$ $q=-\frac{2}{p}$ y podemos sustituir esta en $p^2+2q^2=6$. Tenemos \begin{eqnarray*} p^2+2q^2 &=& 6 \\ \\ p^2 + 2\left(-\frac{2}{p}\right)^2 &=& 6 \\ \\ p^2 + \frac{8}{p^2} &=& 6 \\ \\ p^4+8 &=& 6p^2 \\ \\ p^4-6p^2+8 &=& 0 \\ \\ (p^2-2)(p^2-4) &=& 0 \end{eqnarray*}

Cualquiera de las $p^2-2=0$ o $p^2-4=0$, es decir, $p=\pm\sqrt{2}$ o $p=\pm 2$. Sólo serán válidas las soluciones se $p = \pm2$ porque solemos asumir que $p$ $q$ son números racionales, es decir, de las fracciones.

Si $p=\pm 2$ $pq=2$ da $\pm 2q=-2$, y por lo $q=\mp 1$. Por lo tanto $$p+q\sqrt{2} = \pm(2-\sqrt{2})$$

Recordemos que $\sqrt{6-4\sqrt{2}} = p + q\sqrt{2}$, y puesto que, por definición, $\sqrt{6-4\sqrt{2}} \ge 0$ llegamos a la conclusión de $$\sqrt{6-4\sqrt{2}} = 2-\sqrt{2}$$

Finalmente: $$\sqrt{6-4\sqrt{2}} \ \ {\color{red}{+\sqrt{2}}}= 2-\sqrt{2} \ \ {\color{red}{+\sqrt{2}}} = 2$$

Answer 2

Desde\begin{align} 6-4\sqrt{2}&=4-2\cdot 2\cdot\sqrt{2}+2\\ &=(2-\sqrt{2})^2 \end {Alinee el} $2-\sqrt{2}>0$, que siguen $\sqrt{6-4\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}$.

Entonces $$\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\color{blue}{2}$ $

Answer 3

En general, $\sqrt{\left(a+b\right)\pm 2\sqrt{a\cdot b}} = \sqrt{a}\pm\sqrt{b}$. Entonces ahora te quedan para saber, % y $a$ $b$que satisface $a+b = 6$ y $a\cdot b = 8$. La respuesta debe ser $2$. editado

Answer 4

Sugerencia:

Si la expresión bajo la primera radical es un cuadrado perfecto, lo de $4\sqrt2$doble producto $2\cdot2\cdot\sqrt2$%. De hecho tienes $6-4\sqrt2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2$.

Answer 5

$$\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\sqrt{6-\sqrt{4^2}\sqrt{2}}+\sqrt{2}=$ $ $$\sqrt{6-\sqrt{16}\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\sqrt{6-\sqrt{16\cdot2}}+\sqrt{2}=$ $ $$\sqrt{6-\sqrt{32}}+\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt{6^2}-\sqrt{32}}+\sqrt{2}=$ $ $$\sqrt{\sqrt{36}-\sqrt{32}}+\sqrt{2}=\sqrt{\sqrt{4\cdot9}-\sqrt{4\cdot8}}+\sqrt{2}=$ $ $$\sqrt{2\sqrt{9}-2\sqrt{8}}+\sqrt{2}=\sqrt{2\left(\sqrt{9}-\sqrt{8}\right)}+\sqrt{2}=$ $ $$\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{9}-\sqrt{8}}+\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(\sqrt{\sqrt{9}-\sqrt{8}}+1\right)=$ $ $$\sqrt{2}\left(\sqrt{3-2\sqrt{2}}+1\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)}+1\right)=$ $ $$ \sqrt{2}\left(\sqrt{2}\sqrt{\frac{3}{2}-\sqrt{2}}+1\right) = \sqrt{2}\left(\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+1\right) = $$ $$\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-1+1\right)=$ $ $$\sqrt{2}\left(\sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2=2$ $

---

EDITAR:

$$\sqrt{\frac{3}{2}-\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{2}}=$$ $$\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{\frac{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}{4}}=$$ $$\frac{\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}}{\sqrt{4}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$$