N.B. : Gracias a la respuesta de studiosus me he dado cuenta de que debo pedir más condiciones o de lo contrario la respuesta es directamente errónea. He vuelto a revisar mi problema y he añadido nuevos supuestos que pongo en negrita.
Dado $\tau>0$ tenemos un número finito de mapas suaves $$\gamma_i:[0,\tau]\longrightarrow\mathbb{R}^n,\ i=1,\ldots,s.$$ Sea $V$ el espacio vectorial real abarcado por $\gamma_1,\ldots,\gamma_s$ . A cada $\gamma\in V$ asociamos $n$ suave no negativo funciones $$f_\gamma^1,\ldots,f_\gamma^n:[0,\tau]\longrightarrow\mathbb{R}$$ tal que $f_\gamma^j(0)=f_\gamma^j(\tau)=0$ . Me gustaría demostrar que $$ \begin{array}{ccc} V & \longrightarrow &\mathbb{R}^n\\ \gamma & \longmapsto & \left(\int_0^\tau f^1_\gamma(t)dt\cdots\int_0^\tau f^n_\gamma(t)dt\right) \end{array} $$ es suryectiva asumiendo la siguiente hipótesis:
1) Existe $t_0\in(0,\tau)$ tal que $(f_{\gamma_1}^1(t_0)\cdots f_{\gamma_1}^n(t_0)),\ldots,(f_{\gamma_s}^1(t_0)\cdots f_{\gamma_s}^n(t_0))$ span $\mathbb{R}^n$ .
2) Las correspondencias $$ \begin{array}{ccc} V & \longrightarrow & C^\infty([0,\tau],\mathbb{R})\\ \gamma &\longmapsto & f_\gamma^j \end{array} $$ son lineales para $j=1,\ldots,n$ .
N.B.: La pregunta procede en realidad de un problema de geometría diferencial (de ahí la etiqueta), pero he intentado eliminar todo lo innecesario y quedarme con la información esencial. Espero que sea suficiente para obtener tus pistas.
