Demostrar el espectro de este operador

Question

En el espacio $C[0,1]$ con la norma $||x|| = \max_{ 0 \leq t \leq 1} |x(t)|$ consideremos el operador lineal $$Tx(t) = \int_{0}^t k(t,s)x(s)ds$$ donde $k(t,s)$ es una función continua conjunta en $[0,1]\times [0,1]$ . Demuestre que $\sigma(T) = \{0\}.$

Puedo ver ||T|| = M, donde $M=\max_{s,t}|k(t,s)|$ . Entonces $\sigma(T)$ está en el disco dado por $|\lambda| \leq M$ . Pero, ¿cómo mostrar $\sigma(T) = \{0\}.$ ?

Answer 1

Se puede demostrar por inducción que $$ \|T^n\| \leq \frac{M^n}{n!} $$ y luego concluir que $$ \lim_{n\to \infty} \|T^n\|^{1/n} = 0 $$ Por lo tanto, el radio espectral de $T$ es cero, por lo que $\sigma(T) = \{0\}$