¿Cuál es la diferencia entre el espacio de configuración y el espacio de fase?

Question

1. ¿Cuál es la diferencia entre espacio de configuración y espacio fásico ?

2. En particular, observo que los lagrangianos se definen sobre el espacio de configuración y los hamiltonianos sobre el espacio de fase. El teorema de Liouville se define para los espacios de fase, entonces ¿existe una ley de conservación equivalente para el espacio de configuración?

3. En el proceso de modelado de un sistema físico, ¿cuándo es apropiado utilizar uno en lugar del otro?

Answer 1

1) El espacio de configuración es, en cierto sentido, las posibles "posiciones" del sistema mecánico. Los estados de movimiento, por ejemplo, velocidades/momentos, no forman parte del espacio de configuración.

El espacio de configuración (especialmente cuando hay constraits) se modela como algo real, $n$ -que denotaré como $\mathcal{C}$ .

El espacio de fase de velocidad es el conjunto de todas las "posiciones" y "velocidades" juntas. Si $\mathcal{C}$ es el espacio de configuración, entonces el espacio de fase de velocidad tiene naturalmente la estructura del haz tangente sobre el espacio de configuración, $T\mathcal{C}$ . Si un punto $p\in\mathcal{C}$ entonces los elementos de la fibra $T_p\mathcal{C}$ son las posibles velocidades generalizadas del sistema en el " $p$ configuración".

Dado que el Lagrangiano depende de posiciones y velocidades, es un campo escalar en $T\mathcal{C}$ .

El espacio de fase del momento, que suele llamarse espacio de fase es el haz cotangente $T^*\mathcal{C}$ . En este caso, la fibra ${T_{p}}^*\mathcal{C}$ es el conjunto de todos los posibles momentos del sistema en el " $p$ configuración".

2) No lo creo, el teorema de Liouville emplea en gran medida el hecho de que el espacio de fase del momento es naturalmente una variedad simpléctica. El espacio de fase de la velocidad no es, en general, una variedad simpléctica. Para poder determinar cómo el flujo de fase transforma un volumen, es necesario tener una estructura que defina el volumen, lo que en el espacio de fase de momento hace la forma simpléctica, mientras que en el espacio de fase de velocidad no existe tal estructura canónica.

3) Lamentablemente, no estoy lo suficientemente seguro como para dar una respuesta definitiva.

Answer 2

1. Un punto del espacio de configuración representa la configuración del sistema, es decir, la posición de las partículas que lo componen. Un punto del espacio de fase representa el estado del sistema, es decir, las posiciones y velocidades de las partículas que lo componen.

2. No. El teorema de Liouville no tiene un análogo simple en el espacio de configuración.

3. Depende de cuál sea la tarea en cuestión y de cuáles sean las preferencias de la persona que trabaje en ella. El teorema de Liouville desempeña cierto papel en la física estadística, por lo que el formalismo hamiltoniano se utiliza mucho más que el formalismo lagrangiano. También hay casos en los que el formalismo hamiltoniano se utiliza en mecánica; en cálculos astronómicos aproximados (teoría de perturbaciones), en problemas que implican pequeñas oscilaciones y otros.

   Sin embargo, hay casos en los que resulta engorroso construir el esquema hamiltoniano a partir del esquema lagrangiano ya disponible o de las ecuaciones de movimiento de Newton (encontrar los momentos y la función hamiltoniana es a veces muy tedioso y, en algunos casos, imposible sin otras complicaciones denominadas restricciones). Si la tarea consiste en obtener algunas ecuaciones de movimiento, a menudo el formalismo lagrangiano o la teoría newtoniana son más fáciles de utilizar y suficientes.