¿Cómo se define exactamente qué es y qué no es un dimensión ? He oído en alguna parte que es "cualquier cosa a través de la que te puedas mover", pero si eso es cierto, ¿por qué no se consideraba el tiempo y el espacio una dimensión antes de Einstein?
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qed
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Desde una perspectiva matemática, yo definiría una dimensión como "cualquier propiedad que es ortogonal a todas las demás propiedades". "Ortogonal" aquí significa que no se puede llegar a una propiedad aplicando operaciones escalares sobre otra. Por ejemplo, la x -nunca puede convertirse en un y -y lo mismo para las dimensiones temporal y espacial.
En este sentido, es justo considerar cualquier "unidad" como una dimensión, ya que no se puede aplicar ninguna función para convertir, por ejemplo, la masa o el color de un objeto en una de sus dimensiones espaciales.
chrissie1
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En este contexto Por lo general, lo explico (de forma no matemática) diciendo que el número de dimensiones es el número de valores que se necesitan para especificar dónde ocurre un suceso. Para la mayoría de la gente, esto implica espacio y tiempo (pero para los físicos de partículas puede implicar más valores ;).
En cualquier caso, incluso antes de Einstein era necesario especificar el tiempo y la ubicación espacial de un suceso (3 dimensiones, X/Y/Z o lat/long/height, etc.), es decir, 4 dimensiones.
Lo que Einstein (y en realidad otros antes como Minkowski) añadió fue la importante pieza extra de física de que no sólo las 3 dimensiones espaciales ordinarias son intercambiables, sino que las 4 dimensiones X,Y,Z y T también lo son, hasta cierto punto.
Considere una regla de 1 metro de longitud que se extiende desde una esquina de una habitación a lo largo de una pared: puede considerar que la distancia a lo largo de esa pared es la dimensión X. A continuación, gire la regla de modo que quede a lo largo de la otra pared, dimensión Y. Después, gírela hacia arriba, de modo que quede a lo largo de la pared hasta el techo, dimensión Z.
Esto demuestra que al menos las 3 dimensiones espaciales estar juntos ; puedes tomar un objeto y rotarlo alrededor de estas dimensiones, o en otras palabras, tomar algún valor de una dimensión para dárselo a otra.
Einstein amplió este razonamiento para incluir el tiempo como parte "giratoria" de los objetos y sucesos físicos. No es una analogía del todo exacta, como sabrás si estudias las matemáticas de la relatividad especial, pero es aproximada.
Name
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Creo que esto depende mucho de lo que estés haciendo y de cómo mires lo que estés mirando.
Hablando de eso, ¿cuántas dimensiones tiene el contenido que muestra el monitor de tu ordenador? Dos, supongo, podría ser una respuesta. No es tridimensional y, desde luego, no es una tira de píxeles.
Permítanme citar una gran respuesta de Carl que me gusta aplicar a este ejemplo:
no se puede llegar a una propiedad aplicando operaciones escalares sobre otra
Bueno, no importa lo que hagas con el brillo de un píxel, no cambiará el brillo de ningún otro píxel (siempre que no infles tu monitor). Esto significa que cada píxel puede modificarse de forma independiente y es, por tanto, una dimensión del conjunto . Se podría decir que toda imagen digital compuesta por N píxeles tiene N dimensiones. (Sí, eso significaría que tu smartphone es un dispositivo que captura imágenes de varios millones de dimensiones. No sé por qué ningún equipo de marketing lo ha explotado todavía). Esta forma de pensar sobre una imagen es más común en el procesamiento de señales, la visión por ordenador, la estadística y/o el aprendizaje automático.
Incluso reducir dimensionalidad para que sus algoritmos funcionen mejor.
Una forma intuitiva de pensar en la reducción dimensional es la estadística. Mira este gráfico de dispersión:
Tiene dos ejes, así que es obvio que tiene dos dimensiones, ¿no? Pero se podría decir que esto se ajusta bastante bien a una línea:
¿Y si la línea azul fuera en realidad un eje del gráfico? Espero que estés de acuerdo en que es al menos intuitivamente plausible que todo el problema se "reduce" a una dimensión (con algo de ruido de los puntos) [ ambas imágenes de aquí ]
Esto es válido para las curvas en general.
Si estás en una montaña rusa, te moverás por las 3 dimensiones espaciales (si no estás en una montaña rusa muy coja), pero el dimensionalidad de su movimiento es (con suerte) sólo 1 porque quieres seguir por el buen camino.
También se puede hacer al revés. Una curva de Hilbert es una curva, que llena un espacio bidimensional. el artículo dice:
su dimensión de Hausdorff es 2 (precisamente, su imagen es el cuadrado unitario, cuya dimensión es 2 en cualquier definición de dimensión
Deberías pensar en esto mañana, cuando cortes el césped. Normalmente siempre se va hacia delante/atrás, con giros en ángulo, pero nunca hacia los lados. Como en la montaña rusa. Pero ahora sí que te has movido bidimensionalmente.
Y luego están los fractales con dimensiones fraccionarias que sólo quiero mencionar aquí.
conclusión (o más bien falta de conclusión)
Se puede considerar que el contenido de su monitor tiene varias dimensiones, dependiendo de lo que le interese.
Aman Agarwal
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En un contexto geométrico, la dimensión (en un punto) es, a grandes rasgos, el número de coordenadas que se necesitan para identificar cualquier punto en una vecindad fija. Obsérvese que, en un contexto geométrico, lo mínimo que se necesita es una topología para poder hablar de continuidad, vecindades, etc.
Esta definición intuitiva solía funcionar bastante bien, pero en un momento dado curvas de llenado de espacio se descubrieron, y la gente empezó a preguntarse si podría ser que $\Bbb R^n$ y $\Bbb R^m$ pueden ser homeomórficas (es decir, topológicamente equivalentes) para algunas $n\ne m$ . La prueba de que no lo son es sorprendentemente difícil, y utiliza la topología algebraica.
Esto da una buena definición para espacios que localmente se parecen a $\Bbb R^n$ o $\Bbb C^n$ como manifolds, complejos simpliciales, etc.
En diferentes contextos, como en geometría algebraica, existen diferentes definiciones (como la longitud + 1 de la cadena más larga de subvariedades irreducibles: punto $\subset$ curva $\subset\cdots\subset$ hipersuperficie $\subset$ componente irreducible de todo el espacio), todos con sus propias sutilezas: a menudo es sorprendentemente difícil encontrar una buena definición de dimensión y demostrar que se comporta como debería (con la excepción de los espacios vectoriales).
Louis
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Nuestra definición rigurosa de "dimensión" procede del álgebra lineal. Vamos a repasar rápidamente la forma matemática de describir las dimensiones y su significado físico.
El primer concepto necesario es un espacio vectorial . Un espacio vectorial puede considerarse efectivamente como una colección de puntos que satisfacen algunas propiedades particulares (y muy útiles) . La nota física importante aquí es que toda la física clásica y relativista trata el espacio en el que vivimos como un espacio vectorial.
Todos los espacios vectoriales tienen al menos un base . Una base es un conjunto de ( linealmente independientes ) con algunas propiedades. La más notable es que cualquier vector del espacio vectorial puede expresarse como un múltiplo escalar de esos vectores base. Por ejemplo, en el espacio tridimensional, tenemos: $$e_1=(1, 0, 0)\\e_2=(0, 1, 0)\\e_3=(0, 0, 1)$$
Cualquier vector del espacio tridimensional puede expresarse como una combinación de estos vectores. Por ejemplo, $(5, 3, 7) = 5*(1, 0, 0) + 3*(0, 1, 0) + 7*(0, 0, 1) = 5e_1+3e_2+7e_3$ .
En dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores base necesarios para describir completamente todos los puntos del espacio. (Debido a la independencia lineal, que no describiré aquí, este número es fijo para un espacio vectorial dado).
El significado físico de esto es bastante sencillo. En la mecánica clásica, existe la suposición implícita de que el mundo puede describirse como un espacio vectorial de dimensión 3. En otras palabras, sólo se necesitan tres vectores linealmente independientes para describir la totalidad del espacio vectorial. En otras palabras, sólo hacen falta tres vectores linealmente independientes para describir todo el espacio en el que vivimos. La relatividad tiró esto por la ventana.
Consideremos dos objetos A y B situados en $(1, 1, 1)$ en el momento 0. Escribiré esto como $(1, 1, 1, 0)$ . Supongamos que uno de ellos permanece inmóvil desde tu perspectiva, y que otro se desplaza en un gran círculo una vez a gran velocidad. Clásicamente hablando, después de esta iteración, los objetos tendrían la configuración: $$\begin{align}A &= (1, 1, 1, t)\\B&=(1, 1, 1, t)\\A-B &= (0, 0, 0, 0)\end{align}$$
En otras palabras, clásicamente, no hay diferencia en las configuraciones temporales o espaciales de A y B. Tres dimensiones son suficientes para describirlo. Sin embargo, con la relatividad, terminamos con $$\begin{align}A &= (1, 1, 1, t+\Delta t)\\B&=(1, 1, 1, t)\\A-B&=(0, 0, 0, \Delta t)\end{align}$$
En $A$ se movía, hay alguna diferencia temporal entre $A$ y $B$ . Desde $A - B = (0, 0, 0, \Delta t)$ un cuarto vector de base es obligatorio para describir completamente la configuración que acabamos de presenciar. En consecuencia, el espacio debe ser cuatridimensional según la relatividad.
