Un mapa $h:S^1\to X$ Induce un Homomorfismo Trivial de Grupos Fundamentales Si es Nulohomotópico.

Question

Hace poco empecé a leer Topología Algebraica de la Parte II del libro de Munkres Topología(Segunda Edición).

Una parte del Lemma 55.3 del libro demuestra lo siguiente:

Sea $h:S^1\to X$ sea una función continua. Supongamos que $h_*$ es el homomorfismo trivial de grupos fundamentales. Entonces el mapa $h:S^1\to X$ es nulo-homotópico (lo contrario también se demuestra en el lema).

Pude verificar paso a paso la prueba. Pero ignoro la inutuición que hay detrás. Cómo se relaciona la trivialidad del homomorfismo inducido de grupos fundamentales con la nomotopía no me queda nada claro.

Si alguien me puede dar una visión de conjunto sería estupendo.

El lema se demuestra como sigue en el libro:

Sea $p:\mathbf R\to S^1$ sea el mapa de cobertura estándar $x\mapsto (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$ y que $p_0=p|_I$ donde $I=[0, 1]$ . Entonces $[p_0]$ es un bucle en $S^1$ con sede en $b_0:=(1, 0)$ y genera $\pi_1(S^1, b_0)$ .

Sea $x_0=h(b_0)$ . Desde $h_*$ es trivial, el bucle $f:=h\circ p_0$ puede ser camino-homotoped al lazo constante basado en $x_0$ . Así que $F$ sea una homotopía de trayectoria en $X$ entre los bucles $f$ y el bucle constante $e_{x_0}$ . Ahora el mapa $p_0\times id:I\times I\to S^1\times I$ es un mapa suyectivo continuo cerrado y, por tanto, un mapa cociente. También, $(0, t)$ y $(1, t)$ se asignan a $(b_0, t)$ bajo este mapa para cada $t\in I$ . La homotopía de trayectoria $F$ mapas $0\times I$ , $1\times I$ y $I\times 1$ a $x_0$ de $X$ por lo que induce un mapa continuo $H:S^1\times I\to X$ que es una homotopía entre $h$ y un mapa constante.

Answer 1

Creo que el origen de la confusión en los comentarios es que Munkres denota bucles como mapas a partir de intervalos, en lugar de mapas a partir de $S^1$ . Un mapa $\sigma : [0, 1] \to X$ con $\sigma(0) = \sigma(1) = x_0$ es, sin embargo, equivalente a un mapa $\gamma : (S^1, b_0) \to (X, x_0)$ procedente de la propiedad universal de los espacios cocientes, donde el círculo de dominio es el espacio cociente $[0, 1]/\!\!\sim$ , $\sim$ pegar $0$ y $1$ al grano $b_0$ . No obstante, utilizaré la notación con la que te sientas cómodo:

$\gamma : [0, 1] \to S^1$ cualquier bucle de $S^1$ con sede en $\gamma(0) = \gamma(1) = b_0$ . En $h_*$ es trivial, $h \circ \gamma : [0, 1] \to X$ con sede en $h(\gamma(0)) = h(\gamma(1)) = x_0$ puede ser camino-homotoped al bucle cero $e_{x_0}$ en $x_0$ . Sea $F : [0, 1]\times [0, 1] \to X$ denotan la homotopía de trayectoria entre $h \circ \gamma$ y $e_{x_0}$ .

La homotecia nula deseada es entonces $H : S^1 \times [0, 1] \to X$ obtenida a partir de la propiedad universal de los mapas cociente, donde $S^1 \times [0, 1]$ se considera el espacio cociente $[0, 1] \times [0, 1]/\!\! \sim$ bajo la identificación $(0, x) \sim (1, x)$ para todos $x$ .

Geométricamente, esto significa que estamos tomando el bucle en $(X, x_0)$ y dejando que los intermedios de la homotopía nula sean los intermedios de la homotopía de trayectoria entre $\gamma$ y el bucle cero. Eso es todo lo que hay que hacer, como Qiaochu mencionó en los comentarios.