¿Cómo puedo calcular la varianza del log Odds Ratio si el Odds Ratio extraído del estudio está precalculado?

Question

Quiero realizar un metaanálisis utilizando la odds ratio como métrica. Los estudios que estoy utilizando sólo proporcionan odds ratio precalculadas, junto con sus intervalos de confianza y/o error estándar. Necesito la varianza de log odds ratio para realizar el análisis; sin embargo, no estoy seguro de cómo extraerla. ¿Alguien puede ayudarme?

Gracias.

Answer 1

El capítulo 6 del Manual Cochrane para Revisiones Sistemáticas de Intervenciones explica cómo proceder en estos casos. Las secciones 6.3.1 y 6.3.2 son especialmente relevantes para su situación.

Si los autores proporcionan errores estándar, sospecho que se refieren a la log-ds ratio y no a la odds ratio, ya que los errores estándar para la odds ratio son problemático . Normalmente, un modelo de regresión logística informa de dichos errores estándar en la escala log-odds (véase el ejemplo a continuación).

Si los autores proporcionan un intervalo de confianza para la odds ratio, puede aproximar el error estándar utilizando las siguientes fórmulas. Denotemos la estimación puntual de la odds ratio como $OR$ y $L$ y $U$ los límites inferior y superior de un $(1-\alpha)\%$ -intervalo de confianza para la odds ratio (por ejemplo, a $95\%$ -intervalo de confianza). Además, denotemos el $1-\alpha/2$ -de la distribución normal estándar como $z_{1-\alpha/2}$ . A $(1-\alpha)\%$ El intervalo de confianza de Wald para la odds ratio es:

\begin{align*} \log(OR) + z_{1-\alpha/2}\times \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \log(U)\\ \log(OR) - z_{1-\alpha/2}\times \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \log(L) \end{align*}

Reordenando las fórmulas, podemos obtener el error típico (aproximado) de la relación logarítmica de probabilidades de la siguiente manera:

\begin{align*} \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \frac{\log(U) - \log(OR)}{z_{1-\alpha/2}}\\ \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \frac{\log(OR) - \log(L)}{z_{1-\alpha/2}}\\ \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \frac{\log(U) - \log(L)}{2z_{1-\alpha/2}} \end{align*}

El error típico también puede calcularse a partir del $P$ -valor. Denotemos $\Phi^{-1}(p/2)$ el cuantil normal estándar correspondiente a un $P$ -valor de $p$ . El error típico puede calcularse mediante la siguiente ecuación:

$$ \operatorname{SE}(\log(OR)) = \left|\frac{\log(OR)}{\Phi^{-1}(p/2)}\right| $$

Intentémoslo con un ejemplo en R utilizando datos generados artificialmente. Aquí, genero sólo un predictor continuo x con una log-odds ratio de $5/21$ :

# Sample size
n <- 20

# Generate data
set.seed(142857)
x <- runif(n, 18, 60)           
z <- -(65/7) + (5/21)*x  
pr <- 1/(1 + exp(-z))
y <- rbinom(n, 1, pr)

dat <- data.frame(y = y, x = x)

# Calculate logistic regression model
summary(mod <- glm(y~x, family = binomial))

            Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
(Intercept) -7.62463    3.13999  -2.428   0.0152 *
x            0.20233    0.09059   2.234   0.0255 *

# Wald 95%-confidence intervals
confint.default(mod, level = 0.95)

                   2.5 %     97.5 %
(Intercept) -13.77890599 -1.4703548
x             0.02478875  0.3798772

La regresión logística presenta los resultados en la escala de probabilidades logarítmicas. En consecuencia, tenemos $\log(OR) = 0.20233, \log(L) = 0.0248, \log(U) = 0.3799, P = 0.0255$ . Como hemos calculado $95\%$ -tenemos $z_{1-\alpha/2} \approx 1.96$ . Además, desde el $P$ -valor de $0.0255$ obtenemos $\Phi^{-1}(p/2)=\Phi^{-1}(0.0255/2) = -2.234$ . Introduciendo estos valores en las fórmulas anteriores, obtenemos:

\begin{align*} \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \frac{0.3799 - 0.20233}{1.96} = 0.0906\\ \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \frac{0.20233 - 0.0248}{1.96} = 0.0906\\ \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \frac{0.3799 - 0.0248}{3.92} = 0.0906\\ \operatorname{SE}(\log(OR)) &= \left|\frac{0.20233}{-2.234}\right| = 0.0906 \end{align*}

Todos los métodos recuperan el error típico, que es $0.09059$ en la salida.