¿Qué aspecto tienen los conjuntos compactos en los racionales?

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb Q$ no es localmente compacto y tengo problemas para ver cuáles son los conjuntos compactos.

Además de limitarse a pensar en conjuntos y luego comprobar si son compactos o no, ¿hay alguna forma mejor de encontrar los conjuntos compactos?

EDIT: Cualquier subconjunto de los racionales $[q_1,q_2]\cap \mathbb Q$ no es compacto porque podemos tomar una cobertura que cubra los dos puntos finales pero que limite desde ambos lados a un irracional dentro del intervalo.

EDIT2: Los únicos subconjuntos compactos que encuentro son subconjuntos finitos.

Answer 1

$\newcommand{\ms}{\mathscr}$ Los subconjuntos compactos de $\Bbb Q$ son un poco difíciles de describir a menos que estés familiarizado con los ordinales infinitos, pero aquí tienes una descripción aproximada e intuitiva.

Dejemos que $\mathscr{C}_0=\big\{\{q\}:q\in\Bbb Q\big\}$ claramente todos los miembros de $\ms{C}_0$ y toda unión finita de miembros de $\ms{C}_0$ es compacto, ya que son sólo los conjuntos finitos.

Dejemos que $\ms{C}_1$ sea la familia de conjuntos formada por el número racional y los puntos de una secuencia de números racionales que convergen a él, como $\{0\}\cup\{2^{-n}:n\in\Bbb N\}$ ; estos son compactos, y también, por supuesto, las uniones finitas de los mismos.

Dejemos que $\ms{C}_2$ sea la familia de conjuntos formada por un número racional $q$ y la unión de un conjunto contablemente infinito de miembros de $\ms{C}_1$ cuyos puntos límite convergen a $q$ . Un ejemplo de este conjunto es

$$\{0\}\cup\bigcup_{n\in\Bbb N}\left(\{2^{-n}\}\cup\{2^{-n}+2^{-k}:k>n\}\right)\;;$$

si haces un croquis, verás que cada uno de los conjuntos $\{2^{-n}\}\cup\{2^{-n}+2^{-k}:k>n\}$ es una secuencia simple con su punto límite, por lo que es un miembro de $\ms{C}_1$ y los puntos límite de estas secuencias $-$ los puntos $2^{-n}$ $-$ convergen a $0$ . Cada miembro de $\ms{C}_2$ es compacta, al igual que cualquier unión finita de ellas.

Continuando esta construcción se pueden producir subconjuntos compactos de $\Bbb Q$ de una complejidad cada vez mayor. De hecho, continúa transfinitamente: hay una clase $\ms{C}_\alpha$ para cada ordinal $\alpha<\omega_1$ y para cada $\alpha<\omega_1$ los conjuntos en $\ms{C}_\alpha$ son homeomórficos al ordinal $\alpha$ con la topología del orden.

Como probablemente ya te habrás dado cuenta, esta no es la mejor manera de pensar en el problema de demostrar que $\Bbb Q$ no es localmente compacto en ninguna parte.

PISTA: Una mejor idea es simplemente demostrar que si $q\in\Bbb Q$ entonces $q$ no tiene un barrio compacto. Si $N$ es cualquier nbhd de $q$ Hay un $r>0$ tal que $[q-r,q+r]\subseteq N$ . Ahora elige un número irracional $x\in[q-r,q+r]$ y utilizarlo para demostrar que $N$ no es compacto; hay al menos dos formas diferentes de hacerlo, una que implica cubiertas abiertas y otra que implica secuencias.

Answer 2

Los únicos conjuntos compactos en $\mathbb Q$ no son densos en ninguna parte. Este es el ejemplo 31 en Contraejemplos en topología de Seebach. Un conjunto $A$ en el espacio $X$ se denomina denso en ninguna parte si $X\setminus \mathrm{cl}(A)$ es denso