Estoy tratando de entender las relaciones entre el coeficiente de determinación $R^2$ y las distribuciones $F$.
A continuación, se presentan las notaciones que utilizo:
Supongamos un modelo de regresión lineal simple $y_i=ax_i+b + \varepsilon_i, 1\leq i\leq n$, donde los errores $\varepsilon_i$ siguen una distribución normal con media $0$ y varianza constante $\sigma^2$. La línea de regresión calculada por OLS es $y=\hat{a}x+\hat{b}$ y $\hat{y}_i=\hat{a} x_i +\hat{b}$ es el valor predicho (en el punto $x_i$) y $\hat{\varepsilon}_i=y_i-\hat{y}_i$ es el residual.
Sea $SSR=\sum(\hat{y}_i - \bar{y})^2$ la suma de cuadrados explicada por la regresión, $SSE=\sum(y_i - \hat{y}_i)^2$ la suma de errores al cuadrado y $SST=\sum(y_i - \bar{y})^2$ la suma total de cuadrados.
Luego $R^2=\frac{SSR}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}$.
Lo que entendí de los documentos sobre regresión lineal es que, bajo la hipótesis nula de que $a=0$ (la pendiente de la verdadera línea de regresión es cero), las dos estadísticas $ \frac{SSR}{\sigma^2}$ y $ \frac{SST}{\sigma^2}$ siguen (respectivamente) una distribución chi-cuadrado con $1$ df y una distribución chi-cuadrado con $n-1$ df, y que son independientes.
Entonces, en mi opinión, la razón $\frac{\frac{SSR}{\sigma^2} / 1}{\frac{SST}{\sigma^2} / (n-1)}$ debería seguir una distribución $F(1, n-1)$, una distribución Fisher-Snedecor con $df$ $1$ y $n-1$...
En lugar de encontrar este resultado, lo que veo escrito en todas partes es que $(n-2) \frac{R^2}{1-R^2}$ sigue $F(1, n-2)$...
¿Por qué la gente usa esta última forma en lugar de la anterior? ¿Son equivalentes? Algo se me escapa...
