Se puede adivinar tal elección de $T$ y $T'$ de la "imagen". Consideremos la cúspide cúbica $y^2=x^3$ . La línea $x=0$ interseca la cúspide en orden 2, pero parece abandonar la curva después.
En ecuaciones, considere el mapa de anillos $k[x,y]/(x^3-y^2)\to k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ dada por $x\to 0$ y $y\to \epsilon$ . Esto está bien definido ya que $(0)^3-(\epsilon^2)=0$ si estamos modding a cabo por $\epsilon^2$ .
Ahora, intentemos elevar este mapa a $k[\epsilon]/(\epsilon^3)$ . Supongamos que tenemos un mapa $k[x,y]/(x^3-y^2)\to k[\epsilon]/(\epsilon^3)$ donde $x$ mapas a $a\epsilon^2$ y $y$ mapas a $\epsilon+b\epsilon^2$ . Entonces, sustituyendo en la ecuación $x^3=y^2$ obtenemos $0=(a\epsilon^2)^3=(\epsilon+b\epsilon^2)^2=\epsilon^2$ que es una contradicción.
En mi opinión, la curva cuspidal es un objeto unidimensional, pero su espacio tangente en el origen es bidimensional. Por lo tanto, hay algunas "direcciones fantasma" que están en el espacio tangente pero que no pueden extenderse a "chorros" reales a lo largo de la curva.
