Teorema 12.3 de Matsumura

Question

Teorema 12.3 (p. 87), Teoría de anillos conmutativos por Matsumura.

Sea $A$ sea un anillo de Krull, $K$ su campo de fracciones, y $\mathfrak{p}$ una altura $1$ ideal primo de $A$ ; entonces si $\mathcal{F} = \{R_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ es una familia de DVR de $K$ definición de $A$ debemos tener $A_\mathfrak{p} \in \mathcal{F}$ . Si fijamos $\mathcal{F}_0 = \{A_\mathfrak{p} | \mathfrak{p} \in \text{Spec} \space A \space \text{and} \space \text{ht} \space \mathfrak{p} =1\}$ entonces $\mathcal{F}_0$ i sa familia definitoria de $A$ . Así $\mathcal{F}_0$ es la familia definitoria mínima de DVR de $A$ .

Me quedé atascado en dos sitios mientras leía esta prueba. Proporcionaré la prueba a continuación por si alguien quiere verla.

Pregunta 1

No estoy muy seguro de por qué las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

1) para $a, b \in A$ con $a \not= 0 $ , $b \in aA_\mathfrak{p}$ para todos $A_\mathfrak{p} \in \mathcal{F_0} \implies b \in aA$

2) $aA$ puede escribirse como la intersección de la altura $1$ ideales primarios.

Pregunta 2

Supongamos que para $x \in K$ existe $ 0 \not=a \in A$ tal que $ax^n \in A$ para todos $n>0$ . Entonces, si $A$ es noetheriano, $x$ debe ser integral sobre $A$ . (Quiero probar esto para entender la última parte donde dice que $A$ está completamente cerrada integralmente).

Pruebas del libro de texto

Answer 1

Es fácil ver que $2)\Rightarrow 1)$ (y esto es lo único que importa para la prueba): Supongamos que $aA$ es una intersección finita de ideales primarios cuyos radicales son primos de altura uno. Para tal primo $p$ de $b\in aA_p$ obtenemos un $s_p\in A-p$ tal que $s_pb\in aA$ . En particular, $s_pb$ pertenece al ideal primario en la descomposición primaria de $aA$ cuyo radical es $p$ , digamos $q$ Así que $b\in q$ por lo que se deduce $b\in aA$ .

Para terminar la demostración hay que demostrar que todo dominio de Krull es completamente cerrado integralmente. Esto se deduce fácilmente si se puede demostrar que cada DVR es completamente cerrado integralmente. Digamos $A$ es un DVR, y demostremos que $A$ está completamente cerrada integralmente. Consideremos $x\in K-A$ tal que existe $0\ne a\in A$ con $ax^n\in A$ para todos $n\ge1$ . Entonces $x^{-1}\in A$ . Sea $t$ sea un parámetro uniformizador para $A$ . Entonces $x^{-1}=ut^m$ donde $u$ es invertible y $m\ge 1$ . Entonces $x=u^{-1}t^{-m}$ . Escriba a $a=vt^r$ , $v$ invertible y $r\ge0$ . Obtenemos $ax^n=u^{-n}vt^{r-mn}\in A$ para todos $n\ge1$ y esto implica $t^{r-mn}\in A$ para todos $n\ge1$ una contradicción.