Encontrar intervalos utilizando el Teorema del Mapa de Contracción

Question

Necesito identificar un intervalo $[a, b]$ para el que el Teorema del Mapa de Contracción garantiza la convergencia al punto fijo positivo (o verifica que no existe tal intervalo) para la función $g(x) = x^3+3x^2-3$ .

Claramente, el único punto fijo positivo es $1$ . Sin embargo, según el teorema del valor medio, el intervalo positivo será $[0,0.464]$ . ¿Significa esto que no existe tal intervalo garantizado por la CMT para la función $g(x)$ ? ¿Estoy pensando bien?

Answer 1

Recordemos que $g(x) : I \to \mathbb{R}$ es Lipschitz si existe un $k>0$ tal que:

$$k = \sup_{x \in I} |g'(x)|.$$

Sea $a = 1 - \delta$ , $b = 1+ \delta$ y $I = [a, b]$ . La derivada de $g$ es:

$$g'(x) = 3x^2 + 6x.$$

$g'(x)$ como punto estacionario en $x=-1$ (mínimo absoluto). Además, $g''(x) > 0$ para todos $x > -1.$ Entonces, para $1- \delta > -1 \Rightarrow 0 < \delta < 2$ Tenemos eso:

$$g'(1-\delta) < g'(1+\delta)$$

y por lo tanto

$$k = \sup_{x \in I} |g'(x)| = |g'(1+\delta)| = |3(1+\delta)^2 + 6(1 + \delta)| = (1+\delta)|9 + 3\delta|.$$

En consecuencia:

$$k \in [9, 30].$$

$k$ es también el factor de contracción pero siempre es mayor que $1$ y, por lo tanto, no hay ninguna cuenca de atracción para $x^* = 1.$

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Alternativamente, observe que, para $x^* = 1$ : $$g'(x^*) = 3\cdot 1^2 + 6 \cdot 1 = 9 > 1.$$

Esto demuestra que no existe una vecindad de $x^*$ digamos $I$ tal que:

$$\lim_{n \to +\infty} x_n = x^* ~\text{provided that}~ x_0 \in I \setminus \{x^*\},$$ donde

$$x_{n+1} = g(x_{n}).$$

Las fuentes de este último argumento son aquí y aquí entre los miles que se encuentran en Google.