Existencia de alguna matriz de tipo

Question

Es allí matriz cuadrada $A$ del tamaño de la $3$ real con entradas, que $$ \operatorname{tr}(A)=0\text{ y }A^2+A^T=I. $$ Me han demostrado que no existe con el tamaño de la $2$ usando la definición de "rastro", pero para el tamaño de la $3$ se convierte en complicado.

Aquí está el boceto de la prueba de $2$. $$ a_{11}+a_{22}=0,\\ a_{11}^2+a_{12}a_{21}+a_{11}=1,\\ a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}+a_{21}=0,\\ a_{21}a_{11}+a_{21}a_{22}+a_{12}=0,\\ a_{12}a_{21}+a_{22}^2+a_{22}=1. $$ Poner a $a_{11}=-a_{22}$ es fácil ver que, por encima de las desigualdades no puede ser verdad juntos.

Gracias!

Answer 1

La respuesta es no.

Si sustituimos $A^T=I-A^2$ en la transpuesta de a $A^2+A^T=I$, es decir,$(A^T)^2+A=I$, obtenemos $$(I-A^2)^2+A=I$$ Por lo tanto $I-2A^2+A^4+A=I$ o $$A^4-2A^2+A=0 ~~~~~~(\star)$$ deben ser satisfechos por nuestra matriz $A$. Esto sólo tiene cuatro raíces: $0,1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.

Ahora, considere la posibilidad de $B=QAQ^{-1}$, $A$ en la forma canónica de Jordan. Multiplicando $(\star)$ a la izquierda y a la derecha por $Q, Q^{-1}$ respectivamente, también debemos tener $$B^4-2B^2+B=0 ~~~~(\dagger)$$ $B$ tiene los mismos autovalores como $A$, que se deben sumar a $0$ (contado por la multiplicidad) por la primera condición. Cada bloque de $B$ debe verificar por separado $(\dagger)$, por lo tanto el único posible distinto de cero $B$, hasta reordenación de los tres bloques, es $$B=\left(\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&0\\0&0&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{smallmatrix}\right)$$ Ahora, conectamos $A=Q^{-1}BQ$ a $A^2+A^T=I$, para obtener el $$Q^{-1}B^2Q+Q^TB^T(Q^{-1})^T=I$$ Multiplicando a la izquierda y a la derecha por $Q$ $Q^{-1}$ respectivamente, y establecer $R=QQ^T$, para obtener $$B^2+RBR^{-1}=I$$ Resulta que $$I-B^2=\left(\begin{smallmatrix}0&0&0\\0&\frac{-1+\sqrt{5}}{2}&0\\0&0&\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{smallmatrix}\right)$$ Pero ya $RBR^{-1}=(I-B^2)$, $B$ y $I-B^2$ deben tener los mismos valores propios. Tienen los dos en común, pero no todos los tres - $B$ $1$ mientras $I-B^2$$0$. Por lo tanto no hay tal $A$ existe.

Answer 2

1. El % de matriz $A$es normal (y por lo tanto diagonalizable), desde $$AA^T=A(I-A^2)=(I-A^2)A=A^TA.$ $

2. Además es fácil demostrar (véase la respuesta de vadim123) que $A$ satisface la ecuación $$A^4-2A^2+A=0,$ $ por lo tanto, su valores propios $\lambda_{1,2,3}$ satisface así.

3. Las posibilidades para obtener cero rastro son entonces $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ (excluido inmediatamente como $A$ no puede ser cero) y $\lambda_1=1$, $\lambda_2=\frac{-1+\sqrt5}{2}$, $\lambda_3=\frac{-1-\sqrt5}{2}$. En este último caso $A^T=I-A^2$ tiene cero valor propio que conduce a una contradicción.

Answer 3

Vadim123 gracias por la idea. Aquí está otra prueba. Como vimos $A$ tiene tres valores propios distintos $a=1,~b=\frac{-1-\sqrt{5}}{2},~c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. Tenemos $$a^2+b^2+c^2=4$$,on other hand we have $$3=tr(A^2)=a^2+b^2+c^2,$$which es contradicción.