Si $f:M\to \Bbb R$ es suave y $f^{-1}(0)$ es un conjunto compacto de nivel regular, entonces cada $t\in (-\epsilon,\epsilon)$ es un valor regular de $f$

Question

Sea $M$ sea una variedad lisa y $f:M\to \Bbb R$ una función suave. Supongamos que $0\in \Bbb R$ es un valor regular de $f$ de modo que $f^{-1}(0)$ es un submanifold incrustado de $M$ . Supongamos también que $f^{-1}(0)$ es compacto. Mi objetivo es demostrar que $t$ es un valor regular de $f$ para un valor de $|t|$ .

Mi intento: Para cada punto $p\in f^{-1}(0)$ , $f$ es una inmersión en $p$ Así que $f$ es una inmersión en una vecindad $U_p\subset M$ de $p$ . Ahora $\{U_p\}_{p\in f^{-1}(0)}$ es una cubierta abierta del conjunto compacto $f^{-1}(0)$ por lo que debe existir un número finito de puntos $p_1,\dots,p_n\in f^{-1}(0)$ para que $f^{-1}(0)\subset U_{p_1}\cup \cdots \cup U_{p_n}=:U$ . También $f$ es una inmersión en $U$ . Yo estaría hecho si puedo demostrar que $U$ contiene $f^{-1}(-\epsilon,\epsilon)$ para algunos $\epsilon>0$ pero no puedo mostrarlo. ¿Necesito un enfoque diferente? Gracias de antemano.

Answer 1

La afirmación es falsa. Sea $M$ sea la recta real. Tomemos cualquier mapa suave $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f$ sólo desaparece en cero, pero $f(x)$ llega a cero cuando $x$ llega hasta el infinito. Supongamos que existe una secuencia $\{y_n\}$ tal que $y_n \to \infty$ y $f'(y_n) = 0$ . Entonces $f^{-1}(f(y_n))$ no es una fibra regular sino $f(y_n)$ puede estar tan cerca como queramos $0$ . Es fácil construir tales funciones utilizando funciones de protuberancia suaves. Consideremos $f : \mathbb{R}^{\star} \to \mathbb{R}$ definido por $$ f(x) = \frac{1}{\int_0^{x^2} \sin^2(2\pi y)\ dy}.$$ Entonces $f'(k) = 0$ para cualquier $k \in \mathbb{Z}$ y $f > 0$ en $\mathbb{R}^{\star}$ y $f(x) \to 0$ cuando $|x| \to \infty$ . Ahora, utilizando una función bump, puedes modificar la función $f$ en el origen de tal manera $f(0) = 0$ , $f$ es hasta positivo fuera del origen y $f'(0) = 1$ por ejemplo.

Si existe una vecindad compacta $K$ de $0$ tal que $f^{-1}(K)$ es compacto, entonces todos los valores de $f$ en un pequeño barrio de $f$ tienen que ser regulares. En efecto, argumentando por contradicción, supongamos que existen dos secuencias $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ tal que $x_n$ tiende a $0$ y $f(y_n) = x_n$ y las matrices jacobianas $\mathrm{J}_f(y_n)$ no tienen rango completo. Podemos suponer que $x_n \in K$ y $\{y_n\}$ converge a algún $y$ desde $f^{-1}(K)$ es compacto. Por continuidad, deberíamos tener $f(y) = 0$ . Así, $\mathrm{J}_f(y)$ tiene rango completo, lo cual es una contradicción.

En particular, la afirmación se cumple cuando $f$ es correcto.