Derivación $x=ut+0.5 a t^2$ de diferentes maneras

Question

Estaba jugando con la ecuación del título cuando me di cuenta de que no es tan simple como pensaba. Básicamente cambié los parámetros en la derivación dada en el libro porque me preguntaba por qué $t=0$ en particular tenía que ser el punto de partida. El resultado fue el siguiente, que soy incapaz de explicar.

Si dejamos que los tiempos $t_1$ y $t_2$ en lugar de $0$ y $t$ obtenemos $\Delta x = v_{av} \Delta t=(\frac{v_a+v_b}{2})(t_2-t_1)$ donde $a,b$ son arbitrarios. Esto nos lleva al extraño resultado $\Delta x = (\frac{v_0+at_a+v_0+at_b}{2})(t_2-t_1)=(v_0+\frac{1}{2}a(t_a+t_b))(t_2-t_1)=v_0\Delta t+\frac{1}{2} a(t_a+t_b)\Delta t$ . *

Mi pregunta es, ¿es este un resultado correcto? Si es así, ¿hasta qué punto es útil? Si sustituye $a,b$ por $1,2$ se convierte en el caso general de $\Delta x = v_0 t+\frac{1}{2} at^2$ .

* $v_{av}$ significa velocidad media

Answer 1

$a$ y $b$ no puede ser arbitraria. La ecuación $$v_{av} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$$ implica (bajo el supuesto de que $a=\frac{dv}{dt}$ es constante) que $v_{av} = \frac{v_1 + v_2}{2}$ .

Si $v_a = v(t_a)$ y $v_b=v(t_b)$ fuera arbitraria, entonces $v_{av}$ no estaría bien definida a menos que $v$ resultó ser constante. \

Así que la forma de derivar la ecuación correcta partiendo de $\Delta x = v_{av}\Delta t$ es $$\Delta x = v_{av}\Delta t = \frac{v_1 + v_2}{2}\Delta t = \frac{2v_1 + a\Delta t}{2}\Delta t = v_1\Delta t + \frac 12a(\Delta t)^2$$

donde $\Delta t = t_2 - t_1$ .

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Para confirmar nuestro resultado, podemos derivar simplemente la ecuación correcta a partir de los primeros principios. Consideremos una partícula que experimenta una aceleración constante durante el intervalo de tiempo $[t_1, t_2]$ . Entonces, a partir de la definición de aceleración, tenemos $$a = \frac{dv}{dt}$$ y así $$\int_{t_1}^{t}a dt' = \int_{t_1}^{t} \frac{dv}{dt'}dt' \\ a\int_{t_1}^{t}dt' = \int_{v(t_1)}^{v(t)}dv \\ a(t-t_1) = v(t) - v(t_1)$$ donde $t\in [t_1, t_2]$ . Entonces, integrando de nuevo, obtenemos $$\int_{t_1}^{t} a(t' - t_1)dt' = \int_{t_1}^t [v(t')-v(t_1)]dt' \\ a\left[\frac{t^2-t_1^2}{2}-t_1(t-t_1)\right] = \int_{t_1}^{t} \frac{dx}{dt'}dt' - v(t_1)(t-t_1) \\ a\left[\frac 12(t-t_1)^2\right] = x(t)-x(t_1) - v(t_1)(t-t_1)$$ A continuación, ajuste $t=t_2$ y resolviendo para $\Delta x = x(t_2)-x(t_1)$ obtenemos $$\Delta x = v(t_1)\Delta t+\frac 12a(\Delta t)^2$$ donde $\Delta t = t_2-t_1$ .