Una declaración que utilice el método $\epsilon - \delta$ - definición

Question

El ejercicio es el siguiente: Dada una función $f : D \mapsto \mathbb R$ ¿Son las siguientes condiciones más fuertes, más débiles o no comparables con la continuidad?

$$\forall a \in D, \exists \epsilon \gt 0, \exists \delta \gt 0, \forall x \in D: |x-a| \lt \delta \Longrightarrow |f(x) - f(a)|\lt \epsilon $$

La solución que se dio es:

Es más débil porque $\forall \epsilon \gt 0 P(\epsilon) \Rightarrow \exists \epsilon \gt 0 : P(\epsilon)$

Por ejemplo $f(x)= \begin{cases} 0 & x \ne 0\\ 1 & x = 0 \end{cases}$

Ahora (c), porque $\epsilon = 2, a\in D, \delta = 1, \forall x \in D : |x-a| \lt 1 \Longrightarrow |f(x) -f(a)|\le 1 \lt 2 $

Lo que entiendo de esta "solución" es que debido al cuantificador $\exists$ es más débil que el cuantificador $\forall$ la afirmación es más débil. Ok, a partir de aquí no lo entiendo.

El ejemplo es una función discontinua, ok. Pero no veo la relación entre el enunciado y el ejemplo. Al menos no estoy seguro al 100 % porque no veo por qué el enunciado sugiere algo discontinuo.

Answer 1

La función del ejemplo cumple la primera afirmación, ya que existe un $\epsilon$ que hace que la afirmación sea verdadera; lo demuestran dando valores explícitos que efectivamente hacen que funcione.

Sin embargo, esa función es claramente discontinua. La clave está en que el enunciado dado es efectivamente más débil que el que define la continuidad ya que, en esa definición, no basta con encontrar un valor específico de $\epsilon$ para el que se cumple el resto de la afirmación, tiene que cumplirse para todos posibles valores (positivos) de $\epsilon$ . Para la función del ejemplo, falla para cualquier $\epsilon$ inferior a 1.

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Dejando de lado este contexto (matemático), es útil ver cómo para cualquier enunciado "existe (...)" es efectivamente más débil que "para todos (...)" que escribían simbólicamente:

Es más débil porque $\forall \epsilon \gt 0 P(\epsilon) \Rightarrow \exists \epsilon \gt 0 : P(\epsilon)$

Si estás en una clase con al menos un alumno, toma la propiedad "es masculino" y considere las declaraciones:

1. existe un estudiante $S$ en clase: " $S$ es masculino"
2. para todos los estudiantes $S$ en clase: " $S$ es masculino"

Debe quedar claro que si la segunda afirmación es cierta, entonces la primera también lo es; pero necesariamente al revés (por ejemplo, una clase con al menos un hombre y al menos una mujer).

Answer 2

La afirmación es "más fuerte" en el sentido siguiente: Una función continua siempre satisfará esa afirmación, pero no necesariamente una función que satisfaga esa afirmación será continua.

El ejemplo pretende demostrar este punto, ya que satisface la afirmación pero no es continuo.