Estimar con precisión $\displaystyle\int_0^\infty\frac{t^n}{n!}e^{-e^t}dt$.

Question

¿Cómo puedo obtener una buena asymptotics para $$\gamma_n=\displaystyle\int_0^\infty\frac{t^n}{n!}e^{-e^t}dt\text{ ? }$$

[Esto se ha hecho ya] En particular, me gustaría obtener asymptotics que muestran $$\sum_{n\geqslant 0}\gamma_nz^n$$

converge para cada $z\in\Bbb C$.

N. B.: Los de arriba son los coeficientes de la expansión de $$\Gamma \left( z \right) = \sum\limits_{n \geqslant 0} {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}}\frac{1}{{n + z}}} + \sum\limits_{n \geqslant 0} {{\gamma _n}{z^n}} $$

AGREGAR Escribir $${c_n} = \int\limits_0^\infty {{t^n}{e^{ - {e^t}}}dt} = \int\limits_0^\infty {{e^{n\log t - {e^t}}}dt} $$

Podemos usar algo similar a la de Laplace del método con la expansión de la $${p_n}\left( x \right) = g\left( {{\rm W}\left( n \right)} \right) + g''\left( {{\rm W}\left( n \right)} \right)\frac{{{{\left( {x - {\rm W}\left( n \right)} \right)}^2}}}{2}$$

donde $g(t)=n\log t-e^t$. Es decir, que $$\begin{cases} w_n={\rm W}(n)\\ {\alpha _n} = n\log {w_n} - {e^{{w_n}}} \\ {\beta _n} = \frac{n}{{w_n^2}} + {e^{{w_n}}} \end{casos} $$

Entonces estamos viendo algo asintóticamente igual a $${C_n} = \exp {\alpha _n}\int\limits_0^\infty {\exp \left( { - {\beta _n}\frac{{{{\left( {t - {w_n}} \right)}^2}}}{2}} \right)dt} $$

Answer 1

Para obtener una estimación asintótica podemos usar un truco similar al utilizado para encontrar la asymptotics de $n!$.

Usted escribió

$$ c_n = \int_0^\infty t^n e^{-e^t}\,dt = \int_0^\infty \exp\left(n\log t - e^t\right)\,dt = \int_0^\infty \exp f_n(t)\,dt $$

y vio que $f_n(t)$ tiene un máximo en $t = W(n)$. Por lo tanto la escala de la variable de integración

$$ t = W(n)(1+s), $$

que los rendimientos de

$$ \begin{align} c_n &= W(n)^{n+1} \int_{-1}^\infty \exp\left\{n\left[\log(1+s) - W(n)^{-1} e^{W(n)s}\right]\right\}\,ds \\ &= W(n)^{n+1} \int_{-1}^\infty \exp\left\{n g_n(s)\right\}\,ds \end{align} $$

La mayor contribución a la integral de ahora, viene de un barrio de $s=0$, y no tenemos

$$ g_n(s) = -\frac{1}{W} {(n)} - \frac{1+W(n)}{2}\,s^2 + \cdots. $$

Los detalles del método de Laplace se puede trabajar como de costumbre para llegar a la conclusión de que

$$ \begin{align} c_n &\sim W(n)^{n+1} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left\{n\left[-\frac{1}{W(n)} - \frac{1+W(n)}{2}\,s^2\right]\right\}\,ds \\ &= W(n)^{n+1} e^{-n/W(n)} \sqrt{\frac{2\pi}{n(1+W(n))}}. \end{align} $$

Abajo es un dibujo de $c_n$ en azul y esta asintótica en morado para $1 < n < 10$. A continuación, que es una parcela de $W(n)^{-n-1} e^{n/W(n)} c_n$ en azul y $\sqrt{\frac{2\pi}{n(1+W(n))}}$ en morado para $1 < n < 50$.

A continuación, podemos utilizar la estimación

$$ \log n - \log\log n < W(n) < \log n $$

a partir de esta respuesta, la verdad para $n > e$, para encontrar que

$$ c_n < (\log n)^{n+1} e^{-n/\log n} \sqrt{\frac{2\pi}{n(1+\log n - \log\log n)}} $$

para $n$ lo suficientemente grande. Desde $n! \geq (n/e)^n \sqrt{2\pi n}$ obtenemos el asintótica obligado

$$ \begin{align} \gamma_n &= \frac{c_n}{n!} \\ &< \left(\frac{e \log n}{n}\right)^{n+1} e^{-1-n/\log n} (1+\log n-\log\log n)^{-1/2} \end{align} $$

en el que claramente se disminuye más rápido que de forma exponencial. De esto se sigue que $\sum \gamma_n z^n$ converge para todos los $z$.

Answer 2

$t>0$, Es verdad que el $e^t>t^2$. El uso de este límite en el integral da

$$\int_0^\infty\frac{t^n}{n!}e^{-e^t}dt < \int_0^\infty\frac{t^n}{n!}e^{-t^2}dt.$$

La última integral es a $\frac{1}{2}$ de

$$\frac{\Gamma\left( \frac{n+1}{2} \right)}{n!}.$$

Esto se descompone con la suficiente rapidez para dar la convergencia en el plano complejo entero.

Answer 3

$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty\gamma_nz^n &=\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty\frac{t^nz^n}{n!}e^{-e^t}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty e^{tz}e^{-e^t}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty e^{t(z-1)}e^{-e^t}\,\mathrm{d}e^t\\ &=\int_{1}^\infty u^{z-1}e^{-u}\,\mathrm{d}u\\ &=\Gamma(z,1) \end{align} $$ La parte Superior Incompleta de la Función Gamma es una función completa. De acuerdo a esta respuesta, el poder de la serie para toda la función tiene una infinita radio de convergencia.

---

$\color{#C0C0C0}{\text{idea mentioned in chat}}$

$$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}e^{-e^x}\,\mathrm{d}x &=\frac1{(n-1)!}\int_1^\infty\log(t)^{n-1}e^{-t}\frac{\mathrm{d}t}{t}\\ &=\frac1{n!}\int_1^\infty\log(t)^ne^{-t}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac1{n!}\int_1^\infty e^{-t+n\log(\log(t))}\,\mathrm{d}t\\ \end{align} $$ Buscando en la función de $\phi(t)=-t+n\log(\log(t))$, vemos que llega a su máximo cuando $t\log(t)=n$; es decir,$t_0=e^{\mathrm{W}(n)}=\frac{n}{\mathrm{W}(n)}$.

Utilizando la estimación $$ \mathrm{W}(n)\approx\log(n)-\frac{\log(n)\log(\log(n))}{\log(n)+1} $$ a partir de esta respuesta, en $t_0$, $$ \begin{align} \phi(t_0) &=-n\left(\mathrm{W}(n)+\frac1{\mathrm{W}(n)}-\log(n)\right)\\ &\approx n\log(\log(n)) \end{align} $$ y $$ \begin{align} \phi''(t_0) &=-\frac{\mathrm{W}(n)+1}{n}\\ &\approx-\frac{\log(n)}{n} \end{align} $$ De acuerdo con el Método de Laplace, la integral sería asintótica $$ \begin{align} \frac1{n!}\sqrt{\frac{-2\pi}{\phi''(t_0)}}e^{\phi(t_0)} &\approx\frac1{n!}\sqrt{\frac{2\pi n}{\log(n)}}\log(n)^n\\ &\approx\frac1{\sqrt{2\pi n}}\frac{e^n}{n^n}\sqrt{\frac{2\pi n}{\log(n)}}\log(n)^n\\ &=\frac1{\sqrt{\log(n)}}\left(\frac{e\log(n)}{n}\right)^n \end{align} $$ el que muere más rápido que $r^{-n}$ cualquier $r$.

---

Análisis de la Aproximación a Lambert W

Para $x\ge e$, la aproximación $$ \mathrm{W}(x)\approx\log(x)\left(1-\frac{\log(\log(x))}{\log(x)+1}\right) $$ alcanza un máximo de error de alrededor de $0.0353865$$x$$67.9411$.

A menos que la misma precisión se mantiene para $x\ge\frac53$.

Para todos los $x\gt1$, esta aproximación es una subestimación.