¿La invariancia de dilatación/escala implica invariancia conforme?

Question

¿Por qué una teoría cuántica de campos invariante bajo dilataciones casi siempre tiene que ser también invariante bajo transformaciones conformes adecuadas? Demostrar que tu teoría invariante por dilatación favorita también es invariante bajo transformaciones conformacionales propias rara vez es sencillo. Se necesita integración por partes, introducir conexiones de Weyl, etc., pero al final casi siempre se puede hacer. ¿Por qué?

Answer 1

Como se ha comentado en respuestas anteriores, la invariancia conforme implica invariancia de escala, pero lo contrario no es cierto en general. De hecho, puedes echar un vistazo a Escala Vs. Invariancia conforme en la correspondencia AdS/CFT . En ese artículo, los autores construyen explícitamente dos teorías de campo no triviales que son invariantes de escala pero no invariantes conformacionales. Proceden colocando algunas teorías de campo conformes en espacio plano sobre fondos curvos mediante la correspondencia AdS/CFT.

Answer 2

Un buen artículo sobre este tema: Tutorial sobre simetrías de escala y conformes en diversas dimensiones .

La regla empírica es que "conforme ⇒ escala", pero lo contrario no es necesariamente cierto (deben cumplirse algunas condiciones), aunque, por supuesto, esto varía en función de la dimensionalidad del problema.

PD: Artículo de Polchinski: Invariancia de escala y conforme en la teoría cuántica de campos .

Answer 3

Tal vez esto lo haga:
$\begin{array}{rccl} \textrm{Translation:}&P_\mu&=&-i\partial_\mu\\ \textrm{Rotation:}&M_{\mu\nu}&=&i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)\\ \textrm{Dilation:}&D&=&ix^\mu\partial^\mu\\ \textrm{Special Conformal:}&C_\mu&=&-i(\vec{x}\cdot\vec{x}-2x_\mu\vec{x}\cdot\partial) \end{array}$

Entonces la relación de conmutación da:
$[D,C_\mu] = -iC_\mu$
así que $C^\mu$ actúan como operadores de elevación y descenso de los vectores propios del operador de dilatación $D$ . Es decir, supongamos:
$D|d\rangle = d|d\rangle$
Por la relación de conmutación:
$DC_\mu - C_\mu D = -iC_\mu$
así que
$DC_\mu|d\rangle = (C_\mu D -iC_\mu)|d\rangle$
y
$D(C_\mu|d\rangle) = (d-i)(C_\mu|d\rangle)$

Pero dados los vectores propios de dilatación, es posible definir los operadores de elevación y descenso sólo a partir de ellos. Y así se define el $C_\mu$ .

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P.D. He copiado esto de:

http://web.mit.edu/~mcgreevy/www/fall08/handouts/lecture09.pdf