Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $\Bbb R$ de dimensión $n$ y $T \colon V \to V$ sea una trasformación lineal. Elija la respuesta correcta.
(a) Existen subespacios $V := V_0 \subset V_1 \subset V_2 \dots \subset V_n = V$ tal que $T(V_i) \subset V_i$ y $\dim_{\mathbb R}(V_i)=i$ .
(b) Si $T$ no es suryectiva, entonces existe un subespacio $U \neq 0$ tal que y $T(U)=0$ .
(c) Si existe un subespacio propio distinto de cero $U$ tal que $T(U) \subset U$ entonces existe un subespacio propio distinto de cero $W$ tal que $T(W) \subset W$ y $V = U \oplus W$ .
(d) Si $T(U) \cap U \neq 0$ para cualquier subespacio $U \neq 0$ alors $ST=TS$ para todas las transformaciones lineales $S$ de $V$ a $V$ .
Mi intento :
Empecé con (b) primero, ya que me dio la idea de que $\text{Null}(T) \neq 0$ (ya que no es onto, por lo que no es uno a uno) y el núcleo seguramente será no trivial y la nulidad será positiva (por lo que ciegamente lo elijo correcto).
Para la opción (a) tenemos que se da la existencia de $T$ -subespacios invariantes, a saber. $V_i$ (pero creo que no pude decodificarlo bien).
Para (c) tome $U=W=(x,0)$ como contador, ya que no se comenta que ambos sean distintos.
Para (d) defina $T,S \colon V \to V$ donde $V=\mathbb R^2$ . Ahora para $U=(x,y)$ considera $S(x,y)=(-y,x)$ y $T(x,y)=(x,0)$ Entonces $ST(x,y)=(0,x)$ y $TS(x,y)=(0,0)$ .
Más contadores invitados :~)
¿Alguna ayuda con la opción a o alguna corrección en el intento anterior que hice? Gracias.
