Demostrar que entre rectángulos de un $A$ área el cuadrado es el de menor perímetro?

Question

Demostrar que entre rectángulos de un $A$ área el cuadrado es el de menor perímetro?

Estoy perdido, no sé qué hacer ni por dónde empezar.

Answer 1

Tenga en cuenta que si los lados son $a$ y $b$ con $a \ge b$ que tenemos: $$(a+b)^2=4ab+(a-b)^2$$ Aquí $(a+b)^2$ es el cuadrado de la mitad del perímetro, y $ab$ es fijo. Hacemos $a+b$ lo más pequeño posible haciendo que el término positivo $(a-b)^2$ lo más pequeño posible, es decir $a=b$ .

Answer 2

Un rectángulo de altura $a$ y anchura $b$ como área $A = a \cdot b$ y Perímetro $P = 2 \cdot(a +b).$

Ahora arreglamos $A$ así que $b = \frac{A}{a}$ y $P = 2 \cdot \left(a + \frac{A}{a} \right)$

Debería ser obvio que al hacer $a$ pequeño $b$ se hace muy grande y el perímetro también.

existe un perímetro mínimo cuando $\frac{d}{da}P = 0$

$$ \frac{d}{da} P = \frac{d}{da} 2 \cdot \left(a + \frac{A}{a} \right) = 2 - \frac{2 \cdot A}{a^2} $$

Si lo ponemos a cero, tenemos $$ 0 = 2 - \frac{2 \cdot A}{a^2} \Rightarrow a^2 = A $$

Así tendrá un perímetro mínimo cuando $a = b = \sqrt{A}$ . Que es lo que se nos pidió que probáramos.

Answer 3

Sea $l.b$ son la longitud y la anchura del rectángulo respectivamente, por lo que el perímetro del rectángulo viene dado por: $$2(l+b)$$ Entonces, ¿cuándo es (l+b) mínimo?

Media aritmética $\ge$ Media geométrica

$$\frac{(l+b)}{2} \ge \sqrt{lb}$$ $$\frac{(l+b)}{2} \ge \sqrt{A}$$ $$2(l+b) \ge 4\sqrt{A}$$ Perímetro $\ge 4\sqrt{A}$ . Para obtener el mínimo perímetro posible, $l=b=a$ y $\sqrt{A}=a$

Answer 4

Tenemos $ab=A$ y $2a+2a=p$ , $p$ es el perímetro. Entonces, como $A$ es fijo, $b=a/A$ y $$ p=2(a+A/a)\ge 4\sqrt{A}. $$ En $4\sqrt{A}$ es el perímetro del cuadrado de lado $\sqrt{A}$ .