Encontrar todos los números naturales $φ(8n)< φ(5n)$ [Respuesta facilitada - Pregunta para obtener una explicación]

Question

Encontrar todos los números naturales $φ(8n)< φ(5n)$

Contesta:

entonces

Significa $n$ es un número impar múltiplo de 5

Pregunta: ¿Pueden explicarme cómo se resolvió? ¿Por qué utilizaron 4n?

Answer 1

Tenga en cuenta que para $n > 1$ , $\varphi(n)$ tiene una fórmula en términos de sus factores primos.
Dado $n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ de forma estándar, tenemos $$\varphi(n) = n\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right).$$

Ahora bien, si $5$ ya es un factor de $n$ entonces los factores primos de $5n$ son los mismos que los de $n$ y así, obtenemos $$\varphi(5n) = 5n\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right) = 5\varphi(n).$$

Sin embargo, $5$ no divide $n$ entonces $5n$ tiene el factor primo adicional de $5$ y así, obtenemos $$\varphi(5n) = 5n\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\left(1-\dfrac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1-\dfrac{1}{p_k}\right) = 4\varphi(n).$$

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Esto nos da la fórmula correcta para $\varphi(5n)$ como $$\varphi(5n) = \begin{cases}5\varphi(n) & 5 \mid n\\4\varphi(n) & 5 \nmid n\end{cases}$$

Obsérvese que, aunque asumimos $n > 1$ para empezar, la fórmula anterior funciona para $n = 1$ también. (Según una comprobación manual).

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Del mismo modo, al considerar el caso si $2\mid n$ o no, obtenemos la fórmula para $\varphi(8n)$ como $$\varphi(8n) = \begin{cases}8\varphi(n) & 2 \mid n\\4\varphi(n) & 2 \nmid n\end{cases}$$

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Tenga en cuenta que el resultado anterior es ligeramente diferente de lo que había escrito.

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Lo anterior demuestra que si desea $\varphi(8n) < \varphi(5n)$ la única posibilidad es que $\varphi(8n) = 4\varphi(n)$ et $\varphi(5n) = 5\varphi(n)$ .

Así, estas condiciones obligan a $$\boxed{2 \nmid n \text{ and } 5 \mid n}.$$

Answer 2

La respuesta final es correcta, pero los cálculos utilizados para justificar la respuesta tienen un error:

Si la descomposición de $n$ en un producto de primos es $n=\prod_{i=1}^r p_i^{k_i}$ tenemos $$\frac{\varphi(n)}n=\prod_{i=1}^r\Bigl(1-\frac1{p_i}\Bigr).$$ Por lo tanto,

• si $5\mid n$ no se añade ningún nuevo factor primo en $5n$ por ejemplo $n$ de modo que $$\frac{\varphi(5n)}{5n}=\frac{\varphi(n)}{n},\quad\text{whence }\enspace\varphi(5n)=5\varphi(n).$$
• si $5\nmid n$ , $5$ es un nuevo factor primo, por lo que $$\frac{\varphi(5n)}{5n}=\frac{\varphi(n)}{n}\cdot\Bigl(1-\frac15\Bigr)=\frac{4\varphi(n)}{5n},\quad\text{whence }\enspace\varphi(5n)=4\varphi(n).$$

Cálculos similares para $8$ tenemos que distinguir los casos $n$ impar y $n$ incluso.