¿Es cierto que todo grupo que tiene un número finito de subgrupos es finito?

Question

¿Es cierto que todo grupo que tiene un número finito de subgrupos es finito?

Creo que no, pero no encuentro contraejemplos.

Answer 1

Sí, es cierto - mira $\langle g\rangle$ para cada $g \in G$ y observe que un grupo cíclico infinito tiene un número infinito de subgrupos.

$\langle g \rangle$ debe ser finito, y puesto que $G$ sólo tiene un número finito de subgrupos, obtenemos que $G=\bigcup_{g \in G}\langle g \rangle$ es un finito unión. por lo tanto $G$ ¡debe ser finito después de todo!