Encuentre $P(\max(X_1,X_2,X_3)=1)$ de variable aleatoria de Poisson.

Question

Sea $X_1 ,X_2,X_3$ sean variables aleatorias de Poisson independientes con media $1$ . Entonces $P(\max(X_1,X_2,X_3)=1)$ ¿igual?

$(A)1-e^{-3}$

$(B) e^{-3}$

$(C)1-8e^{-3}$

$(D)7e^{-3}$

Suelo resolver este tipo de problemas cuando nos dan $P(\max(X_1,X_2,X_3)\leq1)$ (digamos) entonces procedo de esta manera si son independientes $P(X_1\leq1)P( X_2\leq1)P(X_3\leq 1)$ . Tengo un razonamiento en mi cabeza detrás de esto $P(\max(X_1,X_2,X_3)\leq1)$ es que si la estadística de orden máximo es $\leq1$ entonces las otras dos variables aleatorias son también $\leq 1$ .

Así, en esta pregunta $P(X_1\leq1)P( X_2\leq1)P(X_3\leq 1)$ cambia a medida que $P(X_1=1)P( X_2=1)P(X_3= 1)=e^{-3}$

Que alguien me diga si voy por buen camino y me aporte algo más de conocimiento sobre este tema.

Answer 1

\begin{align} P(\max(X_1, X_2, X_3)=1) &= P(\max(X_1,X_2,X_3) \leq 1) - P(\max(X_1,X_2,X_3) \leq 0) \\ &=P(X_1 \leq 1)^3-P(X_1 \leq 0)^3 \\ &=\left(\exp(-\lambda) +\exp(-\lambda) \lambda \right)^3 - \exp(-\lambda)^3 \\ &=(1+\lambda)^3 \exp(-3\lambda)- \exp(-3\lambda) \\ &=7\exp(-3) \end{align}

Enfoque alternativo:

\begin{align} P(\max(X_1,X_2, X_3=1) &= 3P((1,0,0))+3P(1,1,0)+P(1,1,1)\\ &=3\exp(-3\lambda)\lambda+3\exp(-3\lambda)\lambda^2+\exp(-3\lambda) \lambda^3 \\ &=7\exp(-3) \end{align}

Observación sobre su enfoque:

No podemos dar por sentado $(X_1, X_2, X_3)=(1,1,1)$ no olvide casos como $(X_1, X_2, X_3)=(1,0,0)$ sólo necesitamos que uno de ellos alcance valor $1$ y el otro puede tomar valor $0$ o $1$ .