Límite de $\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^3+y^3}$

Question

Quiero saber si $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^3+y^3}$ existe o no. He intentado aproximarme a (0,0) desde diferentes "caminos" y el resultado siempre era 0. Por ejemplo,

$f(x,mx^2) = \dfrac{m^2x^3}{1+m^3x^3}$

Pero eso no demuestra que el límite sea 0.

Answer 1

Pista: Hay verdaderos problemas si $x$ es el negativo de $y$ . Si no quieres tomar el camino fácil y observar que la función no está definida cuando $x=-y\ne 0$ , dejemos que $(x,y)$ enfoque $(0,0)$ a lo largo de la trayectoria paramétrica $x=t+t^2$ , $y=-t+t^2$ . Si desea un comportamiento más espectacular, utilice la ruta $(t+t^3, -t+t^3)$ .

Answer 2

Sugerencia

Elija cualquiera $\alpha\ne0$ . En $t\to-1$ considere la trayectoria $$ (x,y)=\alpha(t^3+1)\left(\frac1{t^2},\frac1{t}\right)\to(0,0) $$ Para $\alpha=0$ utilice $$ (x,y)=(t^3+1,0)\to(0,0) $$ Más pistas

Para todos $t\ne-1$ , $\dfrac{x^2y^2}{x^3+y^3}=\alpha$ .

Answer 3

Pista: Utilice $\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}2}\ge \sqrt{xy}$ .