¿Existen resultados de clasificación de haces vectoriales (complejos) de rango superior sobre variedades (complejas) de Grassmann? Por ejemplo, sabemos que los haces de líneas están en correspondencia con el $H^2(G)$ el segundo grupo cohomológico.
Respuesta
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Khushi
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Si $X$ es un espacio topológico paracompacto, entonces tenemos $\operatorname{Vect}_k^{\mathbb{C}}(X) = [X, \operatorname{Gr}_k(\mathbb{C}^{\infty})]$ donde el lado izquierdo es el conjunto de clases de isomorfismo de rango $k$ haces vectoriales complejos en $X$ y el lado derecho es el conjunto de clases homotópicas libres de mapas $X \to \operatorname{Gr}_k(\mathbb{C}^{\infty})$ .
En particular, como $\operatorname{Gr}_m(\mathbb{C}^n)$ es paracompacta, $\operatorname{Vect}_k^{\mathbb{C}}(\operatorname{Gr}_m(\mathbb{C}^n)) = [\operatorname{Gr}_m(\mathbb{C}^n), \operatorname{Gr}_k(\mathbb{C}^{\infty})]$ . No conozco una descripción más sencilla que ésta.
La razón por la que los paquetes de líneas complejas ofrecen una descripción más útil es que $\operatorname{Gr}_1(\mathbb{C}^{\infty}) = \mathbb{CP}^{\infty}$ es un Espacio de Eilenberg-Maclane a saber $K(\mathbb{Z}, 2)$ es decir $\pi_2(\mathbb{CP}^{\infty}) = \mathbb{Z}$ y $\pi_n(\mathbb{CP}^{\infty}) = 0$ para $n \neq 2$ . Utilizando el hecho general de que $[X, K(G, n)] = H^n(X; G)$ vemos que
$$\operatorname{Vect}_1^{\mathbb{C}}(X) = [X, \mathbb{CP}^{\infty}] = [X, K(\mathbb{Z}, 2)] = H^2(X; \mathbb{Z}).$$
Cabe esperar que $\operatorname{Gr}_k(\mathbb{C}^{\infty})$ es un espacio de Eilenberg-Maclane para otros valores de $k$ para que podamos obtener una descripción similar de $\operatorname{Vect}^{\mathbb{C}}_k(X)$ como grupo de cohomología, pero no es el caso. Para cada $k > 1$ , $\operatorname{Gr}_k(\mathbb{C}^{\infty})$ tiene infinitos grupos homotópicos distintos de cero y, por tanto, no es un espacio de Eilenberg-Maclane.
