¿Por qué un $ℝ^2$ subespacio en $ℝ^3$ debe ser un plano que pase por el origen

Question

Entiendo por qué debe ser un avión, pero no entiendo por qué debe ser un avión a través del origen .

Según el libro de álgebra lineal de Strang, un subespacio propio debe seguir estas 2 reglas: 1. El subespacio debe cerrarse por adición de vector + vector. 2. 2. El subespacio debe cerrarse por multiplicación vector x escalar.

Según estas 2 reglas, puedo tener un plano que no pase por el origen y seguir cumpliendo las reglas. He creado estas imágenes en Mathematica para ayudarme a visualizar la cuestión.

Answer 1

Un subespacio debe ser cerrado bajo multiplicación escalar. Tomemos cualquier $(x,y,z)$ en su subespacio, multiplíquelo por el escalar $0$ y el resultado $0(x,y,z)=(0,0,0)$ debe estar todavía en su subespacio. Por lo tanto, cada subespacio debe contener el origen.

Answer 2

No, no puedes. $\alpha v$ no lo hará por $\alpha=0$ .