¿Es esta fórmula para el $n^{th}$ ¿número primo útil?

Question

¿Es la siguiente fórmula para el $n^{th}$ ¿el número primo en las funciones elementales es útil de alguna manera?

$$p(n)=\sum _{a=2}^{2^n} \sin \left(\pi 2^{\left(n-\sum _{b=2}^a \frac{\sin ^2\left(\frac{\pi }{b}((b-1)!)^2\right)}{\sin ^2\left(\frac{\pi }{b}\right)}\right)^2-1}\right)\frac{a \sin ^2\left(\frac{\pi }{a} ((a-1)!)^2\right) }{\sin ^2\left(\frac{\pi }{a}\right)}.$$

Answer 1

Todas las fórmulas "elementales" que conozco son una implementación encubierta de un algoritmo lento para comprobar si un número es primo. Para calcular realmente los primos, es mejor implementar directamente un algoritmo rápido de comprobación de la primalidad, de los cuales hay muchos . Para demostrar realmente algo sobre los primos, la experiencia ha demostrado que es mejor pedir información asintótica en lugar de exacta o utilizar técnicas más sofisticadas (por ejemplo, la función zeta de Riemann).

Una razón básica por la que fórmulas como la que das no son útiles para demostrar nada es que implican la cancelación de muchos términos, y no hay manera de extraer información asintótica fiable sin saber mucho más sobre cómo se cancelan los términos.

Answer 2

C P Willans, Sobre las fórmulas para el $n$ th prime, Math Gazette 48 (1964) 413-415 da $$\pi(m)=\sum_2^m(\sin^2\pi{((j-1)!)^2\over j})/\sin^2(\pi/j))$$ Esto se cita en Paulo Ribenboim, The Little Book of Bigger Primes.