Al parecer, la solución al Paradoja de la duplicación de cartas es que no existe una distribución de probabilidad uniforme sobre los números reales positivos. ¿Puede alguien explicar por qué es así y qué distribuciones de probabilidad pueden existir sobre los números reales positivos (parece que serían bastante limitadas, dado que una distribución tan simple es imposible)?
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user3035
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Si existiera una distribución de probabilidad uniforme, entonces para cualquier número entero $n$ la probabilidad de un número real $x$ satisface $n \leq x < n+1$ tendría que ser el mismo para todos $n$ . Llame a esta probabilidad $p$ .
Una de las reglas que debe cumplir una distribución de probabilidad es que si $\{E_n\}$ son una colección contablemente infinita de sucesos disjuntos, entonces $P(\cup_n E_n) = \sum_n P(E_n)$ . Sea $E_n$ sea el suceso "el número real $x$ satisface $n \leq x < n+1$ ". Puesto que cada número real está entre algunos $n$ y $n + 1$ , $P(\cup_n E_n) = 1$ . Por otra parte, $\sum_n P(E_n) = p + p + p + ....$ . Si $p > 0$ Esto da infinito. Si $p = 0$ da cero. En cualquier caso, nunca sumará $1$ . Por lo tanto, no se puede tener una distribución de probabilidad uniforme sobre los reales.
Una probabilidad uniforme sobre los números reales positivos no satisfaría los tres axiomas de la probabilidad. En concreto, existe un conflicto entre el segundo axioma ( $P(\Omega) = 1$ ) y el tercer axioma (aditividad contable).
Consulte la entrada de la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Axioms_of_probability . Creo que debería estar claro cómo una probabilidad uniforme sobre los reales positivos causaría problemas.
jdotjdot
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129
Para cada densidad de probabilidad $f$ , $\liminf_{x\to \pm \infty} f(x) = 0$ debe aguantar.
Está claro que para una distribución uniforme, la densidad tiene que ser constante en el intervalo considerado.
Combinando ambos requisitos, sólo $g(x) = 0$ queda como opción para una densidad uniforme en $(-\infty, \infty)$ . Pero $\int_{-\infty}^\infty g(x)dx = 0 \neq 1$ es decir $g$ no es una densidad de probabilidad adecuada.
CodingBytes
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102
La "distribución de probabilidad uniforme" se refiere siempre a una medida natural preexistente en un espacio con un grupo transitivo de "traslaciones", de modo que dos puntos cualesquiera o las vecindades de dos puntos son comparables entre sí. El espacio más sencillo de este tipo sería el conjunto $\mathbb Z$ de enteros, y ya ahí se manifiesta el problema que abordas. Por supuesto, es fácil demostrar que no existe una distribución de probabilidad uniforme sobre $\mathbb Z$ ; pero quieres un razonamiento intuitivo. Aunque es fácil idear un mecanismo aleatorio que seleccione cualquier número entre $-10^6$ y $10^6$ con igual probabilidad, es simplemente inimaginable un mecanismo que seleccione 5 con la misma probabilidad que cualquier potencia del primo con número $67212345$ .
AplanisTophet
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El problema se deriva de la teoría de las medidas. Sea $V^1, V^2, V^3, ...$ sea una secuencia de conjuntos de Vitali tal que la colección $\{V^n : n \in \mathbb{N}\}$ particiones $[ \,0, 1) \,$ .
A continuación, es posible crear una asignación $k$ de cada conjunto $V^n$ en $n$ tal que $( \,\forall x \in V^n)\,(\,k(x) = n) \,$ ). Aquí se describe detalladamente un ejemplo:
¿Esta fracción no está definida? Pregunta de probabilidad infinita.
En este punto, es fácil ver que si $a, b \in \mathbb{N}$ y $x$ se selecciona uniformemente al azar entre $[ \,0, 1) \,$ entonces la probabilidad de que $x$ caerá en $V^a$ es la misma que la de $x$ cayendo en $V^b$ . Sin embargo, hay un problema: estas probabilidades no están definidas.
Esto se debe a que los conjuntos Vitali no son medibles. Si tuvieran una medida real positiva, entonces la suma de sus probabilidades en este caso sería infinita. Si tuvieran una $0$ medida, entonces su suma sería $0$ . No nos queda ninguna función de distribución acumulativa definible sobre las naturales.
Dada la aclaración anterior, podríamos utilizar el modelo anterior para seleccionar un real en $\mathbb{R}$ de tal forma que todos los números reales tengan una probabilidad igual, pero indefinida, de ser seleccionados:
1) Que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}$ sea biyectiva.
2) Que $x, y$ se seleccionará uniformemente al azar entre $[ \,0, 1) \,$ .
3) Tenemos entonces $r = f(k(x)) + y$ .
