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Prueba de inducción de \sum_{j=0}^n{(-1)^j{n \choose j}\prod_{k=m+1}^{m+n-1}{(j+k)}}=0

¿Alguien tiene alguna pista para demostrar la siguiente ecuación por inducción para todo n\geq 1 y m\in\mathbb{Z}

\sum_{j=0}^n{(-1)^j{n \choose j}\prod_{k=m+1}^{m+n-1}{(j+k)}}=0

utilizar para el paso de inducción:

{n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} = {n \choose k}

2voto

Alex Bolotov Puntos 249

Comience con \sum_{j=0}^{n} (-1)^j \binom{n}{j} (1+x)^{j} = (-x)^n

Aplicando el teorema binomial a (1 - (1+x))^n .

Ahora multiplica ambos lados por (1+x)^{m+n-1} y diferenciar ... veces, y establecer x a ..., y demostrar por inducción que ...

1voto

riza Puntos 170

Si buscas una prueba por inducción... no es ésta. Observe

\sum_{j=0}^n (-1)^j{n \choose j} \left[\prod_{k=m+1}^{m+n-1}{(j+k)}\right]x^{j+m} =\sum_{j=0}^{n}(-1)^j{n\choose j}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left(x^{j+m+n-1}\right)

¿Qué se puede hacer a partir de aquí?

\begin{array}{l} =\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}\left[x^{m+n-1}\sum_{j=0}^n{n\choose j}(-x)^j\right] \\ =\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left(x^{m+n-1}(1-x)^n\right) \\ =\sum_{l=0}^{n-1}\left(\frac{d^{n-1-l}}{dx^{n-1-l}}x^{m+n-1}\right)\left(\frac{d^{\,l}}{dx^l}(1-x)^n\right).\end{array} Ahora, \displaystyle\frac{d^{\,l}}{dx^l}(1-x)^n =(-1)^l \left[\prod_{r=n-l+1}^n r\right](1-x)^{n-l} y (1-x)^{n-l}=0 en x=1 cuando l<n .

0voto

Anthony Shaw Puntos 858

Podemos escribir el producto como un factorial por un binomio y luego utilizar Identidad de Vandermonde para escribirlo como una combinación lineal de \binom{j}{i} : \begin{align} \prod_{k=m+1}^{m+n-1}(j+k) &=(n-1)!\binom{j+m+n-1}{n-1}\\ &=(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{j}{i}\binom{m+n-1}{n-i-1}\tag{1} \end{align} (1) es un grado n-1 polinomio en j y, en general, el n^{\text{th}} diferencia de avance de un polinomio de grado inferior a n es 0 . En particular \begin{align} &\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}\prod_{k=m+1}^{m+n-1}(j+k)\\ &=(-1)^n\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}\prod_{k=m+1}^{m+n-1}(j+k)\tag{2}\\ &=(-1)^n\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{j}{i}\binom{m+n-1}{n-i-1}\tag{3}\\ &=(-1)^n(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{m+n-1}{n-i-1}\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}\binom{j}{i}\tag{4}\\ &=(-1)^n(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{m+n-1}{n-i-1}\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n-i}{n-j}\binom{n}{i}\tag{5}\\ &=(-1)^n(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{m+n-1}{n-i-1}(1-1)^{n-i}\binom{n}{i}\tag{6}\\[12pt] &=0\tag{7} \end{align} Explicación de los pasos:

(2) : (-1)^j=(-1)^n(-1)^{n-j}

(3) : aplicar (1)

(4) reordenar términos

(5) : \displaystyle\binom{n}{j}\binom{j}{i}=\frac{n!}{(n-j)!\,i!\,(j-i)!}=\binom{n}{i}\binom{n-i}{n-j}

(6) : \displaystyle\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n-i}{n-j}=(1-1)^{n-i}

(7) cada término de (6) es 0 desde i\lt n

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