Podemos escribir el producto como un factorial por un binomio y luego utilizar Identidad de Vandermonde para escribirlo como una combinación lineal de \binom{j}{i} : \begin{align} \prod_{k=m+1}^{m+n-1}(j+k) &=(n-1)!\binom{j+m+n-1}{n-1}\\ &=(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{j}{i}\binom{m+n-1}{n-i-1}\tag{1} \end{align} (1) es un grado n-1 polinomio en j y, en general, el n^{\text{th}} diferencia de avance de un polinomio de grado inferior a n es 0 . En particular \begin{align} &\sum_{j=0}^n(-1)^j\binom{n}{j}\prod_{k=m+1}^{m+n-1}(j+k)\\ &=(-1)^n\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}\prod_{k=m+1}^{m+n-1}(j+k)\tag{2}\\ &=(-1)^n\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{j}{i}\binom{m+n-1}{n-i-1}\tag{3}\\ &=(-1)^n(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{m+n-1}{n-i-1}\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n}{j}\binom{j}{i}\tag{4}\\ &=(-1)^n(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{m+n-1}{n-i-1}\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n-i}{n-j}\binom{n}{i}\tag{5}\\ &=(-1)^n(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1}\binom{m+n-1}{n-i-1}(1-1)^{n-i}\binom{n}{i}\tag{6}\\[12pt] &=0\tag{7} \end{align} Explicación de los pasos:
(2) : (-1)^j=(-1)^n(-1)^{n-j}
(3) : aplicar (1)
(4) reordenar términos
(5) : \displaystyle\binom{n}{j}\binom{j}{i}=\frac{n!}{(n-j)!\,i!\,(j-i)!}=\binom{n}{i}\binom{n-i}{n-j}
(6) : \displaystyle\sum_{j=0}^n(-1)^{n-j}\binom{n-i}{n-j}=(1-1)^{n-i}
(7) cada término de (6) es 0 desde i\lt n