Descargo de responsabilidad: La versión original de esta pregunta se centraba en $2^n$ en lugar de $n^2$ . Es con la esperanza de que la pregunta sea más fácil con $n^2$ que lo cambié.
Tengo un polinomio trigonométrico siempre negativo (en los enteros no negativos)¹ $P$ : $$P(n) = \mathcal{R}\left(\sum_{j=1}^k a_j e^{i \theta_j n}\right),$$ con $\lim \limits_{n \to \infty} P(n^2) = 0$ .
Quiero demostrar que $P(n^2) = 0$ .
A continuación se presentan algunos datos básicos sobre los polinomios trigonométricos que pueden ser útiles. A polinomio trigonométrico es un función casi periódica . Esto implica, en particular, que en particular que:
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Para $\epsilon > 0$ Hay un número $L=L(\epsilon)$ tal que cualquier intervalo de longitud $L$ en la línea real tiene un $\epsilon$ -traducción entero, es decir, un número entero $t$ tal que $|P(n) - P(n +t)| < \epsilon$ para cualquier $n$ .
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A partir de cualquier secuencia $\{P(n + m_k)\}$ se puede extraer una subsecuencia que converge uniformemente con respecto a $n$ . Además, la función a la que converge converge es casi periódica. ( $\{m_k\}$ es una secuencia arbitraria de números).
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En particular, para cualquier secuencia $\{m_k\}$ para cualquier $\epsilon$ existe $i \neq j$ tal que $m_i - m_j$ es un $\epsilon$ -número de traducción.
Un caso aún más sencillo es considerar que $\lim \limits_{n \to \infty} P(n) = 0$ . Una prueba que implica que $P(n) = 0$ para cualquier $n$ es la siguiente. Supongamos que hay un $m$ tal que $P(m) > 0$ , y establecer $\epsilon = P(m)/2$ . Ahora, para cualquier $N$ existe un $\epsilon$ -número de traducción $t$ de $P$ con $t > N$ un número entero. Entonces $|P(m) - P(m+t)| < \epsilon$ Por lo tanto $P(m+t) > \epsilon$ . Así, $\lim \limits_{n \to \infty} P(n)$ no es nulo.
¹: El polinomio trigonométrico se toma en el sentido de, por ejemplo, Corduneanu (en Funciones casi periódicas). Wikipedia parece tener una definición diferente.
