Conjunto compacto de medidas de probabilidad

Question

Creo que puedo resolver el siguiente ejercicio si $X$ se supone que es separable, de lo contrario no puedo.

Sea $X$ sea un espacio (Hausdorff) localmente compacto, $\pi\colon X \to Y$ un mapa continuo en un espacio topológico $Y$ tal que $Y$ es la unión de una secuencia contable de conjuntos compactos $(K_n)$ y tal que $\pi^{-1} (K_n)$ es compacto para cada $n$ . Sea $\mu$ sea una medida de probabilidad regular de Borel sobre $Y$ . Definir el espacio $\mathcal{M}_\mu (X)_1$ que consiste en todas las medidas de probabilidad de Borel $\nu$ en $X$ tal que $\pi_* \nu = \mu$ . Demuestre que $\mathcal{M}_\mu(X)_1$ es compacta con respecto a la topología débil-*.

Ahora bien $X$ se supone separable, también lo es $C_0(X)$ y funciona la misma demostración que en el teorema de Helly-Bray (mutatis mutandis). ¿Y si no es así?

Answer 1

Esto es lo que obtuve para un espacio métrico compacto:

Debemos demostrar que cualquier secuencia $\mu_n$ en $\mathscr{M}(X)$ tiene un $\omega^*$ -(esto demuestra que $\mathscr{M}(X)$ es en realidad secuencialmente compacta).

Sea $\{f_i\}_{i=1}^{\infty}$ sea un subconjunto denso contable de funciones en $C(X)$ . Para cualquier secuencia $\mu_n$ en $\mathscr{M}(X)$ tenemos que $$\begin{equation*} |\int_X f_1 d\mu_n| \leq \|f_1\|_\infty \end{equation*}$$ para todos $n$ por lo que la secuencia $\int_X f_1 d\mu_n$ está acotada y, por tanto, tiene una subsecuencia convergente que denotaremos por $\int_X f_1 d\mu_{n}^{1}$ .

Consideremos ahora la secuencia $\int_X f_2 d\mu_{n}^{1}$ . De nuevo es una secuencia acotada de números reales y por tanto tiene una subsecuencia convergente $\int_X f_2 d\mu_{n}^{2}$ .

Continuamos de esta manera y obtenemos, para cada $i \geq 1$ , $$\begin{equation*} ... \subset \mu_{n}^{i} \subset \mu_{n}^{i-1} \subset ... \subset \mu_{n}^{1} \end{equation*}$$ tal que $\int_X f_j d\mu_{n}^{i}$ converge para $1 \leq j \leq i$ . Consideremos ahora la secuencia $\mu_{n}^{n}$ . Puesto que, para $n \geq i$ , $\mu_{n}^{n}$ es una subsecuencia de $\mu_{n}^{i}$ , $\int_X f_i d\mu_{n}^{n}$ converge para cada $i \geq 1$ . \ Ahora podemos utilizar el hecho de que $\{f_i\}_{i=1}^{\infty}$ es denso para demostrar que $\int_X f d\mu_n$ converge para todo $f \in C(X)$ . Para cualquier $\epsilon > 0$ Elige $f_i$ tal que $\|f-f_i\|_\infty \leq \epsilon$ . Desde $\int_X f_i d\mu_{n}^{n}$ converge, existe $N$ tal que si $n,m \geq N$ entonces $$\begin{equation*} \lvert \int_X f_i d\mu_{n}^{n} - \int_X f_i d\mu_{m}^{m} \rvert < \epsilon. \end{equation*}$$

Así, si $n, m \geq N$ tenemos $$\begin{equation*} | \int_X f d\mu_{n}^{n} - \int_X f d\mu_{m}^{m} | \leq \end{equation*}$$ $$\begin{equation*}| \int_X f d\mu_{n}^{n} - \int_X f_i d\mu_{n}^{n} | + | \int_X f_i d\mu_{n}^{n} - \int_X f_i d\mu_{m}^{m} | + | \int_X f_i d\mu_{m}^{m} - \int_X f d\mu_{m}^{m} | \leq 3 \epsilon. \end{equation*}$$

Así que.., $\int_X fd\mu_{n}^{n}$ converge, según sea necesario. Para completar la demostración, escribimos $$\begin{equation*} \Lambda (f) = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f d\mu_{n}^{n}. \end{equation*}$$ Es fácil comprobar que $\Lambda$ satisface la hipótesis del Teorema de la Representación de Riesz. Por lo tanto, existe $\mu \in \mathscr{M}(X)$ tal que $$\begin{equation*} \Lambda (f) = \int_X f d\mu.\end{equation*}$$ Entonces tenemos $$\begin{equation*} \int_X f d\mu_{n}^{n} \rightarrow \int_X f d\mu, \end{equation*}$$ como $n \rightarrow \infty$ para todos $f \in C(X)$ por lo que hemos demostrado que $\mu_{n}^{n}$ $\omega^*$ -convierte a $\mu$ como $n \rightarrow \infty$ y hemos terminado. $\blacksquare$