No conozco la historia lo suficiente como para hacer afirmaciones por escrito, pero he aquí algunas observaciones desde un punto de vista moderno.
Hablamos de curvas y superficies como establece pero nuestras herramientas analíticas en geometría diferencial suelen basarse en asignaciones . Entonces estamos obligados a demostrar que nuestras definiciones no dependen de la cartografía. Para calcular cualquier cosa, generalmente estamos obligados a elegir algún tipo de cartografía. Incluso para describir muchos objetos geométricos, estamos obligados a referirnos a mapeados.
Para utilizar las superficies como ejemplo, si $U$ es un conjunto abierto no vacío en el plano euclídeo y $x$ es un mapeo suave e inyectivo al espacio tridimensional euclidiano cuya diferencial $Dx$ tiene rango dos en cada punto de $U$ y si la inversa $x^{-1}:x(U) \to U$ es continua, entonces $x$ es un parametrización y el conjunto $x(U)$ es un parche de superficie lisa .
Ahora podemos definir un subconjunto $S$ del espacio tridimensional euclidiano para ser un superficie lisa si para cada punto $p$ de $S$ existe un conjunto abierto $V$ en el espacio tridimensional euclidiano y un parche de superficie cuya imagen es $x(U) = S \cap V$ . Es un teorema que si $S$ es una superficie lisa y $p$ es un punto de $S$ existen precisamente dos vectores unitarios en $p$ normal a $S$ .
Tenemos otras formas de identificar subconjuntos como superficies lisas. En particular, el teorema de la función implícita garantiza que si $F$ es una función suave de valor real sobre un subconjunto abierto no vacío del espacio tridimensional euclídeo, si $S = F^{*}(\{c\})$ es un conjunto de niveles de $F$ y si $DF(p)$ no es cero en cada punto $p$ de $S$ entonces $S$ es una superficie lisa. Los vectores normales en $p$ resultan ser los dos vectores unitarios proporcionales al gradiente de $F$ en $p$ .
Desde cualquier perspectiva, por cierto, es sencillo comprobar que la gráfica de una función suave de valor real en $U$ es una superficie, y calcular su vector normal en un punto arbitrario. Pero fíjate bien en que las derivadas pueden ser visualmente sorprendentes. Supongamos que $S$ parece que el $(x, y)$ -y supongamos $P$ es un plano arbitrario a través del origen. Matemáticamente, $S$ podría tener una protuberancia microscópica haciendo $P$ tangente a $S$ ¡! En una inspección más cercana (por así decirlo), no podemos en general defina y mucho menos encontrar, planos tangentes de superficies lisas geométricamente, lo que significa que no podemos encontrar vectores normales geométricamente tampoco. (Por el contrario puede definir geométricamente planos tangentes para superficies definidas geométricamente como planos, cilindros y esferas).
Se trata de mucha letra pequeña técnica y bagaje conceptual que hay que masticar cuando uno se enfrenta por primera vez a las superficies. No es de extrañar que los profesores y autores a menudo hagamos gestos con las manos y nos refiramos a películas de jabón o membranas o metáforas físicas similares, y asumamos que los estudiantes y lectores tienen una idea geométrica ingenua de lo que es un vector normal.
