En primer lugar, basta con estudiar las representaciones complejas $\rho: Spin(n, {\mathbb C})\to SL(N, {\mathbb C})$ de grupos complejos de Spin $Spin(n, {\mathbb C})$ : La restricción de tal representación al subgrupo compacto de Spin $Spin(n)$ es automáticamente unitarizable es decir, la imagen está contenida en un conjugado de $SU(N)$ .
Una representación $\rho$ se llama espinoral (o simplemente espín) si no desciende al grupo ortogonal $SO(n, {\mathbb C})$ (equivalentemente, $\rho$ es inyectiva). Por confusión, también existen representaciones semiespinorales (o semiespinorales): También son espinorales.
Para cada grupo de Lie complejo simple $G$ representaciones lineales complejas irreducibles (de dimensión finita) $G\to GL(V)$ están parametrizados por pesos $\lambda$ se escribe $V=V(\lambda)$ en esta situación (la notación $\rho$ se suprime). Cada peso $\lambda$ es la suma de pesos fundamentales $\omega_1,...,\omega_\ell$ donde $\ell$ es el rango del grupo $G$ . Para $G=Spin(n, {\mathbb C})$ ( $n\ge 5$ ), $n=2\ell$ o $n=2\ell+1$ en función de la paridad de $\ell$ . Pierre Deligne en su Notas sobre espinores observa que entre representaciones fundamentales (es decir, representaciones cuyos pesos son fundamentales) corresponden a los nodos de la derecha del diagrama de Dynkin: Hay un nodo de este tipo (etiquetado como $\omega_\ell$ si $n$ es impar ) o dos ( $\omega_{\ell-1}, \omega_\ell$ si $n$ es incluso ). En el caso de dos nodos las representaciones correspondientes son media vuelta y tienen la misma dimensión. Por lo tanto, basta con considerar únicamente $\omega_\ell$ independientemente de la paridad de $n$ . Se puede comprobar que las representaciones correspondientes $V(\omega_\ell)$ son las representaciones de espín de la dimensión más baja. Estas representaciones son también minúscula (la razón por la que tienen la dimensión más baja entre todas las representaciones de espín) y sus dimensiones son calculado como : $$ N=dim(V(\omega_\ell))=2^{\ell}, n=2\ell+1, $$ y, en el caso de medio giro:
$$ N=dim(V(\omega_{\ell}))= 2^{\ell-1}, n=2\ell. $$
Estas son las dimensiones más bajas en las que $Spin(n)$ incrusta en $SU(N)$ . Para $n=10=5\times 2$ (el caso por el que has preguntado) obtenemos $N=2^{5-1}=16$ más alto de lo que esperabas.
En cuanto a las construcciones explícitas de tales representaciones, puede encontrarlas en este artículo de Wikipedia o en las notas de Deligne.
