El límite no existe necesariamente.
Supongamos que $H$ es un espacio complejo de Hilbert y definimos $T_k=e^{i\alpha_k} Id$ donde $(\alpha_k)$ es una sucesión de números reales que tiende a $0$ . Entonces todos $T_k$ son unitarios y $\Vert T_k-Id\Vert\to 0$ . Por otra parte, tenemos $$S_n=\frac1n\left(e^{i A_1}+\dots +e^{i A_n} \right) Id , $$ donde $A_k=\alpha_1+\dots +\alpha_k$ .
Así que sólo hay que elegir $(\alpha_k)$ de tal forma que la secuencia $(e^{iA_k})$ no es convergente en el sentido de Cesaro.
Por ejemplo, se puede proceder del siguiente modo (probablemente no sea la forma más sencilla de hacerlo). Sea $(I_p)$ sea una secuencia de intervalos consecutivos de $\mathbb N$ y denotamos por $N_p$ la cardinalidad del intervalo $I_p$ . Ponga $\alpha_k=0$ si $k\in I_{p}$ para algunos impar $p$ y $\alpha_k=\frac{2\pi}{N_p}$ si $k\in I_p$ para algunos incluso $p$ . Entonces $e^{iA_k}=1$ si $k\in I_p$ para algunos impar $p$ y el $e^{iA_k}$ , $k\in I_p$ enumerar los $N_p$ raíces de $1$ es $p$ es par (empezando por $e^{i{2\pi}/{N_p}}$ y terminando con $1$ ). Por lo tanto $$ \sum_{k\in I_p} e^{iA_k}=\left\{ \begin{matrix} N_p&p\;{\rm odd}\cr 0&p\; {\rm even} \end{matrix}\right.$$ De ello se deduce que si la secuencia $(N_p)$ aumenta muy rápidamente (por ejemplo $N_1+\dots N_p=o(N_{p+1})$ ) y si ponemos $n_p=N_1+\dots +N_p$ entonces $\frac{1}{n_{2l}}\sum_{k=1}^{n_{2l}} e^{iA_k}\to 0$ como $l\to\infty$ mientras que $\frac{1}{n_{2l+1}}\sum_{k=1}^{n_{2l+1}} e^{iA_k}\to 1$ .
