Valor de $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ para $x=0$

Question

Por qué el valor de $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$ para $x=0$ ¿es 1 y no 0?

Answer 1

Es intuitivo que la suma de ningún número se defina como cero. Menos intuitivo es que el producto de ningún número se defina como uno.

Simbólicamente:

$$\sum_{\text{false}} x = 0$$

$$\prod_{\text{false}} x = 1$$

No importa el número $x$ es decir, incluso cero.

Una razón $0^0 = 1$ por definición es porque la cardinalidad (cuántos elementos hay en un conjunto, denotado $\vert \cdot \vert$ ) del número de funciones de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ denotado $Y^X$ viene dado por:

$$\left\vert Y^X \right\vert = |Y|^{|X|}$$

y hay una y sólo una función del conjunto vacío a sí mismo:

$$1 = \left\vert \varnothing^\varnothing \right\vert = |\varnothing|^{|\varnothing|} = 0^0$$

Véase https://proofwiki.org/wiki/Zero_to_the_Power_of_Zero por más razones.

Edición: En el contexto de la toma de límites, nos referimos a $0^0$ como una forma indeterminada porque no puede concluya $x^y \to 1$ porque sí $x \to 0$ y $y \to 0$ .

Answer 2

Porque cuando se trata de series de potencias se supone que $0^0=1$ .

Answer 3

Tenemos por convención $$\left.\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\right|_{x=0}=\left.\frac{x^0}{0!}\right|_{x=0}+0+0+0+\dots=1+0+0+\dots=1.$$