Encontrar $\tan \pi/8$ de $\sqrt{1+i}$ .

Question

Quiero demostrar que $\tan \pi/8 = \sqrt{2} - 1$ utilizando $\sqrt{1+i}$ de alguna manera.

Escribe: $\sqrt{1+i} = a+bi$ y encontremos $a$ y $b$ . Tenemos: $$1+i = a^2+b^2 + 2abi,$$ así que $a^2+b^2 = 1$ y $ab = 1/2$ . Esto ya me parece mal, porque sabemos que $|1+i| = \sqrt{2} \implies |\sqrt{1+i}| = \sqrt[4]{2},$ independientemente de la raíz que elijamos. Hagamos como si todo fuera bien. La sustitución da $$a^2 + \frac{1}{4a^2} = 1 \implies a^4 - a^2 + \frac{1}{4} = 0 \implies a^2 = \frac{1}{2} \implies a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2},$$ y $$b = \pm\frac{1}{2\frac{\sqrt{2}}{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} = a.$$

Y escribir $1+i = re^{i((\pi/4)+2k\pi)}$ obtenemos que las raíces vienen dadas por $\sqrt[4]{2}e^{i((\pi/8)+k\pi)}$ .

Ahora, $z = x+iy \implies \tan \arg(x+iy) = y/x$ nos daría $\tan \pi/8 = 1$ ¡!

¿Puede alguien darme una luz aquí? Debe ser sencillo, pero no consigo entenderlo. Gracias.

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Sí, conozco mejores formas de encontrar $\tan \pi/8$ . Quiero hacerlo este manera.

Answer 1

Otro camino podría comenzar con $$\displaystyle \tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x},$$ poniendo $x=\pi/8$ utilizando $\displaystyle \tan(\pi/4)=1$ resolviendo fácilmente $$ \frac{2y}{1-y^2 }=1 $$ para obtener $$ \displaystyle \tan(\pi/8)=\sqrt{2}-1. $$

Answer 2

Lo tengo resuelto. Un error tonto, como siempre. Debería haber $$1+i = a^2 - b^2 + 2abi,$$ como señala Omnomnomnom en los comentarios. Entonces: $$\begin{cases} a^2 - b^2 = 1 \\ ab = 1/2\end{cases} \implies a^2 - \frac{1}{4a^2} = 1 \implies a^4 - a^2 - \frac{1}{4} = 1,$$ Así que..: $$a^2 = \frac{1\pm \sqrt{2}}{2} \implies a = \pm \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}},$$ desde $a$ debe ser real. Entonces: $$b = \pm\frac{1}{2\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}} \implies b = \pm\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}+1}}.$$ Por fin, $$\tan \pi/8 = \frac{b}{a} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{2}+1}}\frac{\pm \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{2}+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2}-1.$$