En Prueba de Mantel suele aplicarse a matrices de distancia/diferencia simétricas. Según tengo entendido, un supuesto de la prueba es que la medida utilizada para definir las diferencias debe ser al menos una semimétrica (cumplir los requisitos estándar de una métrica, pero no la desigualdad del triángulo).
¿Puede relajarse el supuesto de simetría (dando una pre-métrica)? ¿Es posible aplicar la prueba de permutación en este caso, utilizando la matriz completa?
No necesita ampliarse. La prueba original de Mantel, tal como se presenta en Documento de Mantel de 1967 permite matrices asimétricas. Recordemos que esta prueba compara dos $n\times n$ matrices de distancia $X$ y $Y$ .
Llegados a este punto, podemos anticipar una modificación de nuestra estadística que simplificará los procedimientos estadísticos que se desarrollarán a continuación. La modificación consiste en eliminar la restricción $i\lt j$ y sustituirla únicamente por la restricción $i\ne j$ . En $X_{ij} = X_{ji}$ y $Y_{ij} = Y_{ji}$ el efecto de la modificación es simplemente duplicar exactamente el valor de la suma. Sin embargo, los procedimientos desarrollados a continuación son apropiados incluso cuando las relaciones de distancia no son simétricas, es decir, cuando es posible que $X_{ij} \ne X_{ji}$ y el $Y_{ij} \ne Y_{ji}$ un caso particular cubierto entonces es cuando $X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$ ...
(en la sección 4; énfasis añadido).
La simetría parece ser un artificial en muchos programas informáticos, como el ade4 paquete para R que utiliza objetos de la clase "dist" para almacenar y manipular matrices de distancia. Las funciones de manipulación asumen que las distancias son simétricas. Por esta razón, no se puede aplicar su mantel.rtest a matrices asimétricas, pero se trata de una limitación del software, no de una propiedad de la prueba en sí.
La prueba en sí no parece exigir cualquier propiedades de las matrices. Obviamente (en virtud de la referencia explícita a antisimétrico al final del pasaje anterior) ni siquiera es necesario que las entradas en $X$ o $Y$ son positivos. Se trata simplemente de una prueba de permutación que utiliza alguna medida de correlación de las dos matrices (consideradas como vectores con $n^2$ elementos) como estadística de prueba.
En principio podemos enumerar los $n!$ permutaciones posibles de nuestros datos, calcular $Z$ [el estadístico de la prueba] para cada permutación, y obtener la distribución nula de $Z$ con respecto al cual el valor observado de $Z$ puede ser juzgado.
[ ibid. ]
De hecho, Mantel señaló explícitamente que las matrices no tienen por qué ser matrices de distancia y destacó la importancia de esta posibilidad :
Las fórmulas del caso general serán apropiadas también para los casos en que el $X_{ij}$ y $Y_{ij}$ no siguen las regularidades aritméticas y geométricas impuestas en el problema de agrupación; Por ejemplo , $X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$ . Es la aplicabilidad del procedimiento general a arbitrariedades $X_{ij}$ y $Y_{ij}$ 's que subyace a su extensión a una mayor variedad de problemas ...
(El ejemplo establece la desigualdad del triángulo).
Como ejemplo, ofreció "el estudio de las relaciones interpersonales" en el que "tenemos $n$ individuos y 2 medidas diferentes, simétrico o asimétrico relacionando a cada individuo con el resto $n-1$ "(énfasis añadido).
En un apéndice, Mantel derivó la "varianza permutacional de $Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$ sin más suposición que la de que los elementos diagonales de las matrices son constantes, potencialmente distinto de cero.
En conclusión, desde el principio cada uno de los axiomas métricos ha sido explícitamente considerados y rechazados por no ser esenciales para la prueba:
Las "distancias" pueden ser negativas.
Las "distancias" entre un objeto y él mismo pueden ser distintas de cero.
No es necesario que se cumpla la desigualdad triangular.
Las "distancias" no tienen por qué ser simétricas.
Terminaré comentando que la estadística propuesta por Mantel, $Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$ puede funcionar mal para distancias no simétricas. El reto consiste en encontrar un estadístico de prueba que distinga eficazmente dos matrices de este tipo: utilizar que en la prueba de permutación en lugar de la suma de productos.
Este es un ejemplo de la prueba en R . Dadas dos matrices de distancia x y y devuelve una muestra de la distribución de permutación (como vector de valores del estadístico de prueba). No requiere que x o y tienen ninguna propiedad en particular. Basta con que tengan el mismo tamaño de matriz cuadrada.
mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
permute <- function(z) {
i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
return (z[i, i])
}
sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
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