Conexión de Ehresmann del haz tangencial y clases de Chern

Question

Debo haber entendido algo mal, esto me está dando bastante dolor de cabeza. Por favor, deténganme cuando detecten un error en mi razonamiento.

La conexión Ehresmann $v$ de algún paquete, $E\to M$ es la proyección desde $TE$ en el paquete vertical. Así que $v \in \Omega^1(E,TE)$

A partir de ella se puede definir una forma de curvatura dada por $\omega = dv + v\wedge v$ y tienen $\omega \in \Omega^2(E,TE)$ .

Ahora, podemos hacer esto con el Tangent Bundle $TM\to M$ también, y tienen para nuestra conexión Ehresmann $v\in \Omega^1(TM,TTM)$ y Curvatura $\omega\in \Omega^2(TM,TTM)$ .

Según http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature_form esta forma de curvatura $\omega$ debe ser igual al Tensor de Curvatura de Riemann $R$ , $R(X,Y) = \omega(X,Y)$

Pero según tengo entendido, nuestra Conexión Ehresmann $v$ asigna elementos de $TTM$ volver a $TTM$ . Y la Conexión Levi-Civita sólo está interesada en Elementos de $TM$ .

(1) ¿cómo es que la curvatura de ambos coincide? ¿No son algo completamente distinto?

Ahora tengo el mismo problema con las clases de Chern. Las clases de Chern se dan como Formas sobre $M$ ( $\Omega(M,TM)$ ). Pero podemos calcular estas clases de Chern mediante la forma de curvatura, que es una forma sobre $E$ , $\Omega(E,TE)$ (o en nuestro caso $\Omega(TM,TTM)$ Sin embargo, aquí ni siquiera entiendo cómo puede ser esto en general).

(2) De nuevo, ¿no son estas dos cosas muy diferentes?

Answer 1

No estoy seguro de entender completamente su pregunta, pero tal vez esto le ayude.

Una forma diferencial sobre el haz principal es el pull back (bajo el mapa de proyección del haz) de una forma sobre la variedad si y sólo si la forma es invariante bajo la acción del grupo de Lie y si es cero siempre que uno de los vectores sobre los que se evalúa sea vertical. Esto es fácil de demostrar.

La forma 2 de curvatura de una conexión satisface la segunda condición ya que por definición K(X,Y) = dw(hX,hY) donde w es la forma 1 de la conexión sobre el haz principal y hX y hY son las componentes horizontales de los vectores, X e Y. Pero no satisface la primera condición ya que sus valores cambian por ese mapa adjunto bajo la acción del grupo de Lie sobre la fibra.

Por lo tanto, para obtener la forma de curvatura en la variedad, se necesita una sección local del haz principal (normalmente no existe una sección global). El pull back de la forma de curvatura bajo una sección local se denomina campo gauge. Si tenemos una conexión Levi-Cevita, la sección local es un marco ortonormal y el grupo de Lie es SO(n). Las formas 1 de la conexión son simétricas porque el álgebra de Lie de SO(n) son las matrices simétricas.

Con clases características como las clases de Chern se cumplen ambas condiciones. Las clases de Chern son las proyecciones a la variedad de formas diferenciales que son invariantes bajo la acción del grupo en la fibra y que se evalúan a cero siempre que uno de los vectores parámetro sea vertical. No requieren una sección local del haz principal, sino que se definen globalmente tanto en el haz principal como en la variedad.

Answer 2

La idea fundamental es que la conexión actúa sobre las secciones, no sobre los elementos del haz tangente del haz tangente.