Dada una solución Pell $(u_k,v_k)$ ¿existe una forma cerrada de "descenso" a $(u_{k-1},v_{k-1})$ ?

Question

Dada: una solución $(u_k,v_k)$ a la ecuación Pell $$U^2-dV^2=1, \qquad(\star)$$ donde $d$ es un número entero no cuadrado, y $k \ge 1$ es un número entero arbitrario.

Son bien conocidas las recurrencias a asciende a $(u_{k+1}, v_{k+1})$ dada también la solución fundamental $(u_1,v_1)$ . Me pregunto si existe una forma cerrada de "recurrencia inversa" que dé $(u_{k-1},v_{k-1})$ sin saber $(u_1,v_1)$ explícitamente.

Como ejemplo numérico concreto, cuando $d=2$ podemos calcular $v_{k-1} = u_k-v_k$ y, a continuación, calcular $u_{k-1}=v_k-v_{k-1}$ que da una solución a la versión negativa de $(\star)$ ; aplicada dos veces, se vuelve a la siguiente solución más pequeña para la versión positiva. Es este tipo de "descenso", en un caso general, lo que me interesa.

Answer 1

La respuesta a su pregunta es no. Saber cómo realizar el descenso equivale a conocer la solución fundamental. Dado $d > 0$ no es un cuadrado, la solución anterior viene dada multiplicando el vector columna por $$ \left( \begin{array}{rr} s & -d t \\ -t & s \end{array} \right) $$ donde $$ s^2 - d t^2 = 1 $$ es la solución fundamental. Dado $(x,y)$ que resuelve $x^2 - d y^2 = 1,$ la solución anterior es $$ (s x - d t y, \; \; -t x + s y); $$ pero la siguiente solución es $$ (s x + d t y, \; \; t x + s y); $$

Mientras tanto, la matriz (o) tiene traza $2s$ y determinante $1.$ Si conoces dos soluciones consecutivas, Cayley-Hamilton dice $$ x_{n+2} = 2 \, s \; x_{n+1} - x_n, $$ $$ y_{n+2} = 2 \, s \; y_{n+1} - y_n. $$ Una vez más, el conocimiento de $2s$ le indica la solución fundamental.

Answer 2

Si tenemos cualquier solución de la ecuación Pell: $$x^2-dy^2=1$$
Tener un formulario: $(x_1;y_1)$ La siguiente solución que siempre se puede obtener por la fórmula: $$x_2=x_0x_1+dy_0y_1$$ $$y_2=y_0x_1+x_0y_1$$ Esta fórmula da todas las soluciones. Con el fin de elegir la dirección del crecimiento es necesario cambiar el signo de la solución de sustitución. En su lugar " $+$ " escribir " $-$ "

$(x_0;y_0)$ - la primera solución de la ecuación de Pell.